四面体の頂点から底面に下ろした垂線と底面が交わる点は外心になるそうですが、 これは、底面が二等辺三角形の時も成り立ちますか？ そもそも、底面を二等辺三角形とする四面体は存在しますか？ （変な質問でごめんなさい)

写真の問題をベクトルOAとベクトルOBを基底とした斜交座標で考えたいのですが分からなくなってしまいました。直線OBは出たので直線をもう1つ求めて交点を出せば行けると思うのですが、そのもう1つの直線を求めることがどうしてもできません。分かる方ご教授お願いしますm(*_ _)m

■。 例題 24 基本例題 25 垂心の位置ベクトル 平面上に △OAB があり, OA=5,OB=6,AB=7 とする。 また, △OABの垂 心をHとする。 ① cos ∠AOB を求めよ。 A OA=4,OB=とするとき, OHをaを用いて表せ。 B p.400 基本事項 ⑤ 指針 三角形の垂心とは, 三角形の各頂点から対辺またはその延長に下ろした垂線の交点であり、 △OABの垂心Hに対して, OA⊥BH, ORIAH, ABIOH が成り立つ。 そこで, OA⊥BH といった図形の条件をベクトルの条件に 直して解く。 (2) では OH = sa + t とし, OA･BH = 0, 重要 28 H *B 4

なぜ1行目はこうなるんですか？

△ABCの外接円の中心を0とし、頂点A,B,Cの点Oを基点とする 位置ベクトルを,それぞれ a, , ことする. 位置ベクトル 五=a+b+c で表される点をH, △ABCの重心をGとするとき,次の い問いに答えよ. (1) 3点O, G, H は一直線上にあることを示せ. (2) 点Hは△ABCの垂心であることを示せ。 bl 考え方 F (1) 3点 0, G, H が一直線上にある OH =kOG の形で表せる (2)Hは△ABCの垂心 A ⇒ AH⊥BC, BHICA JAU 655 AH-BC=0, BH-CA=0 (+5) また点は外接円の中心だから |a|=||= 300+€9, 解 (1) OH=a+b+c, OG=1/(1+6+2) より, OH=30G-OH-KOG の形で 3 Pas つまりよって,3点O,G,Hは一直線上にある。C 別) GH-AH-AG=OB+OC-OG-OA) J - 3.635246=(OA+OB+OC)–OG 270G [豚の大量よ「女」 =3OG-OG=20G 内職のよって, 3点O, G, Hは一直線上にある. ocus 3053 515 MROJI (2)点Oは△ABCの外心だから, |l=||=|| AH・BC=(OB+OC)・(OC-OB) 561020 RESO BH･CA=(OA+OC) (OA-OC) =(a + c)(a-c) =(a+b)(a-g 550 lớp lớp =0 000 /// 5=dp よって, AH･BC=0 HO B OG: GH=1:2 AH-OH-OA, OH = OA+OB+OC より, SUGS AH=OB+OC OG=(a+b+c) 108005=3*57 (m) A 線分が垂直(内積)=0 を利用 TH F G020 PX, Y) BH=OH-OB OH=OA+OB+OČ 7686=a²²-²=00(SCE 003 BH=OA+OC よって、BH･CA=0 以上より, AH⊥BC, BHICA だから,点Hは△ABC AH≠0, BH0 とし ても一般性を失わない の垂心である. DO 7

三角形なら、重心、外心、内心、垂心は必ず成り立ちますか？

下から2行目の、同様にして、BA＝BCとなり、とありますが、なぜそう言えるか教えて欲しいです！

つの内角 ある。 490. 垂心と内心が一致する △ABCにお いて,垂心をHとし 直線AH と辺 BCの交点をPとする。 △ABP と△ACP において, AP⊥BCであるから. ∠APB=∠APC=90° ･･････ ① A •H P C APは共通...... ② B また, Hは内心でもあり, AH は ∠Aの二等分線であるから, <BAP=∠CAP ...... ③ ① ② ③ より 1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいから, AABP=AACP したがって, AB=AC 同様にして, BA=BCとなり, AB=BC=CA, すなわち, △ABC は正三角形である。 PO 垂心は三角形 ら対辺または した3本の垂 ことと、内心 の内角の二等 ることを利用 08 98 87 08

この問題はなぜ2枚目のように座標をおきa≠0にすると、直線CNとBNがy軸上に交点を持つことが分かるんですか？ よろしくお願いします🙇

応用例題6 △ABCの3つの頂点から,それぞれの対辺またはその延長上に下ろした垂線AL, BM, CN は1点 で交わることを証明せよ。 考え方 とると, 2直線BM, CN がy軸上で交わることをいえばよい。 垂線 BMCNの交点が直線AL 上にあることを示す。 そこで, 直線BCをx軸に、直線 ALを軸に

GD＝12×3分の1って何処から3分の1が出てきたんですか！！！ あと下の方の計算で2:（2+1)とありますがその（2+1）は何処から出てきたものですか？？ この計算の他に簡単なやり方はもうないですよね、、？😢

p.906 116 右の図で,点Gは △ABCの重心で, 線 分PQはGを通って辺 BCに平行である。 AD = 12, DC = 9 の B とき, GD, PGの長さを求めよ。 点Gは△ABCの重心であるから AG: GD =2:1 P GD = 12× よって 1/1/23 =4 点Dは辺BCの中点であるから BD = DC = 9 よって G12 D PQ // BC であるから, 三角形と比の定理により PG: BD = AG: AD PG:9= 2:(2+1) 3PG = 18 PG = 6

途中までできたのですが最後のii),iii)のところを教えてください！教えてくれた方フォローします

祭 練習 19 本の が交わる点を,三角形の垂心 △ABCの3辺の垂直二等分線は, 1点で交わることを証明せよ。

教えてください！

祭 練習 19 本の が交わる点を,三角形の垂心 △ABCの3辺の垂直二等分線は, 1点で交わることを証明せよ。

なぜOG:GH=1:2なのですか？

考え方 練習 348 例題 348 オイラー線 △ABCの外接円の中心を0とし、頂点A,B,Cの点Oを基点とする 位置ベクトルを,それぞれ a, , こ とする. 位置ベクトル h =a+b+c で表される点をH, △ABCの重心をGとするとき,次の 問いに答えよ. $JCA (1) 3点 0, G, H は一直線上にあることを示せ . (2) 点Hは△ABC の垂心であることを示せ . SONS (1) 3点O,G,Hが一直線上にある OH =kOG の形で表せる (2)点Hは△ABCの垂心 Focus また、点は外接円の中心だから |==|| 3.685206(OA+OB+OC)-OGR FOR =3OG-OG=20G AHBC, BHICA つまり, AH･BC=0, BH・CA=0 つまりよって,3点0,G,Hは一直線上にある. (別解) GH = AH-AG=OB+OC- (OG-OA) の大温kg ADCƏ (1) OH=a+b+c, OG=1/(1+6+2) より, OH=3OGOH=kOG の形で 3 よって、3点0, G, Hは一直線上にある . ができる (2) 点Oは△ABCの外心だから, |a|=|8|=||| AH・BC=(OB+OC) ・(OC-OB) =(c+b). (c−b) >5508 よって, BH CA=(OA+OČ) (OA-OC)B ^¹ =(a+c)·(a−ĉ)¯AS 12-10 AH•BC=0\ 0803 H = 0 を利用 (内積) 5 3 ベクトルと図形 61 ** A O G 線分が垂直 注 三角形の外心O, 重心G,垂心Hは一直線上にあり, OG: GH = 1:2 である. (直線OGH をオイラー線という.) M C OG: GH=1:2 AH-OH-OA, OH = OA+OB+OC より 08055-3-57 (0) 0200315 20 AH=OB+OC OĞ=(a+b+c) =lap²-1c²²=005 (SCE BH･CA = 0 よって, 以上より, AH⊥BC, BHICA だから,点Hは△ABC A = 0, BH ±0 とし ても一般性を失わない. の垂心である. BH=OH-OB OH = OA+OB+OC より, BH = OA+OC rernzelni. の方面 例題 348 において, 点Cを通り外接円の直径となるようなもう一方の円周上 の点をEとするとき,四角形 AEBH は平行四辺形となることを示せ. →p. 63028