●7 斜めの回転体
1
曲線 y=-
IC
>0) をCとする。 直線 y=x上の点Pにおいて直線y=xに直交する直線を考
える. この直線と曲線Cは2点 A, B で交わっているとする
(2) 曲線と直線x+y=4で囲まれた部分を直線y=xの周りに1回転してできる回転体の体
(1) Oを原点(0,0)とし, OP=1とするとき, 線分AP の長さを†で表せ。
積を求めよ.
回転軸上に変数をとる
回転軸が斜めになっている場合であっても,回転
軸上に変数(目盛り)をとれば、座標軸が回転軸の場合と同様,体積を
S's (1) dt で計算することができる。 ここで, S(t)は右図太線での回転体の
断面積である. 回転軸上に変数をとるとは,「回転軸上の定点(例題ではO)
からの距離を変数で表す」ということで、例題ではこのような設定になって
いるので難しく考える必要がない。 演習題のように変数をとる場合は注意が必
(演習題の解答のあとで解説する)
解答量
(1)Pは第1象限にあるので, OP=t のときP
(津田塾大学)
t
t=b
t=a
回転体の断面積S(t)
t
√2
このときにx+y=√2tだから,C:xy=1と連立し
て」を消去すると,
C
(√2t-x)=1
:.x2-√2tx+1=0
x=
√2t±√2t2-4
2
複号のマイナスの方をAとして
t
AP=√2
√2
√21-√2(12-2)
2
=√t-2
P
t
x+y=4
B
XC
V2
P
(2) ①が実数になるので 212-40 すなわち√2 であり,また,
1:x+y=√2tx+y=4と一致するとき, t=2√2 である.
よって, 求める体積 V は,
2√2
v=f2x· AP²dt=
V=
2/2
·AP²dt=√(t²-2) dt=r
-13-2t
2√2
Cは直線 y=x に関して対称だ
らPはABの中点になる.
={16/2-4√2-
2
√2-2√2
2 π
