重要 例題40 係数に虚数を含む2次方程式の解
OOO00
xの方程式(i+1)x+(k+i)x+ki+1=0が実数解をもつとき, 実数kの値を
めよ。ただし, =-1 とする。
(類専修大)
基本 35
指針>実数解をもつことから, 判別式 D20 を利用したいところだが, 判別式が使えるのは
係数が実数のときに限る。 そこで, 実数解を α として (i+1)α*+(k+i)α+ki+1=n
iについて整理して (α°+kα+1)+(α°+α+k)i=0
ここで,複素数の相等条件 A, Bが実数のとき A+Bi=0←→ A=0, B=0
を利用する。
解答
方程式の実数解をx=αとすると
iについて整理すると
D+ka+1, α'+a+kは実数であるから
(α2+ka+1)+(α"+α+k)i=0
不立 AHO
α2+ka+1=0
の, α+α+k=0
2)
A, Bが実数のとき
A+Bi=0
の-2 から
よって(k-1)(α-1)=0
[1] k=1のとき, ①, ② はともに
判別式をDとすると
D<0であるから, αは虚数解となり, 条件に適さない。
[2] α=1のとき, ② から k=-2
(R-1)α+1-k=0
→A=0, B=0
ゆえに R=1 または α=1
Q2+α+1=0
D=12-4·1·1=-3
(実数 αに対して
)(α++>0
これは①も満たす。
であることから, 示しても
よい。
したがって
k=-2
する。
別解 [O, ② を導くところまでは同じ]
2から
k=-α°-a
これは,高次方程式(αの3
次方程式)。
高次方程式の解法は,p.95
以後を参照。
のに代入して整理すると
-1=0
ゆえに
(α-1)(α+a+1)=0
1 2
3
αは実数であるから
a2+a+1={α+
2
>0
4
α-1=0 すなわち
k=-2
よって
Q=1
このとき,3から
O0
