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2つの円C: (x-1)2+y2=1 と D : (x+2)2+y2 = 72 を考える。 また原点を
O(0,0)とする。 このとき、次の問に答えよ。
2016年度 〔2〕
Level A
(1) 円 C上に,y座標が正であるような点Pをとり,x軸の正の部分と線分 OP の
なす角を0とする。このとき,点Pの座標と線分 OP の長さを 0 を用いて表せ。
(2)(1)でとった点 P を固定したまま,点Qが円D上を動くとき、△OPQ の面積が
最大になるときのQの座標を0を用いて表せ。
(3) 点Pが円C上を動き, 点Qが円D上を動くとき, △OPQ の面積の最大値を求
めよ。
ただし(2),(3)においては,3点O,P,Qが同一直線上にあるときは,△OPQの
面積は0であるとする。
解法 1
イント JC上にある点P, 円 D上にある点Qを考えるのであるから, そのパラメ
ータ表示には, 三角関数を用いるのが自然である。これに, 三角形の面積の公式
OE = (x1,y1), OF = (x2, y2) とするとき
△OEF= ===—=—=12²₁3
-|X1Y2—X2Y1|
を用いて面積を表すことができれば、あとは微分法によればよい。
本題では,2点P, Q が動くとき, 「まず1点Pを固定する」という基本的な考え方
が誘導されている。
〔解法1] では,厳密に論証を重ねながら計算を進めるが,直観的には (1), (2)の結果は
ほぼ明らかである。 点Pは第1象限に限られているので, 三角比の問題として処理で
きるからである。 〔解法2〕では,この方針で(1), (2) を解答する。
π
(1) 円Cの中心をAとおくと, A (1, 0) である。 また,0は0<8<-
の範囲にあ
