15. 高校数学の探究 (2)
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高
例28 例26の展開の公式から, 次の因数分解の公式が成り立つ。
acx2+(ad+bc)x+bd=(ax+b)(cx+d)
この公式を利用して, 2次式 3x2 + 14x + 8 を因数分解せよ。
解説 公式 acx2+(ad+bc)x+bd=(ax+b)(cx+d) において,
ac=3, ad+bc=14, bd=8
となる a, b, c, d を見つければよいことになる。
ac=3なので,a=1,c=3 と考えてみる。 これに対して, ad+bc >0より, 6>0, d>0で
ある。 よって, bd=8 を満たす b, dの組として, 次の4つが考えられる。
[b=1
①
②
|d=8
[b=2
|d=4
(b=4
b=8
33
④
|ld=2
|d=1
この中で, ad+ bc = 14 を満たすものを見つければよい。
それぞれについて, ad + bc を計算すると
[b=1
①
ad+bc=1x8 + 1x3 = 11
|d=8
|b=2
ad+bc = 1×4+ 2x3 = 10
|d=4
[b=4
(3)
ad+bc = 1×2+ 4×3 = 14
|d=2
[b=8
④
ad+bc = 1x 1 + 8x3 = 25
|d=1
したがって、条件を満たすb, dは③で, a=1,b=4,c=3,d=2 となる。
解答
3x2+14x+8=(x+4)(3x+2)
[参考] 因数分解が正しいかどうかを確かめたいときは, 右辺を展開してみればよい。
例28の解説で行った計算は,次のように書いて行うと少し簡単になる。
a
X
bc
C
d
ad
ac
bd
ad+bc
(3)
1
4
→
12
3
2
→
2
3
8
14
このように書いて行う因数分解を, たすき掛けの因数分解という。
以下のたすき掛けは,条件を満たさない組 (失敗した例)である。
① 1
33
1
8
8
(2)
1 1
→
3
1
8
3
11
3
↑↑
24
100
8
④4)
6 1
4
10
3 3
3-
81
8
←
←
24
1
25
