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実戦問題88 指数方程式の解の存在範囲
関数 f(x) = 4* +a·2*+2 + 11a+3 について
(1) t= 2* とおくとき,tの値のとり得る範囲は t>
また,y= f(x)として, yをもの式で表すと, y=°+
アーLオ
/の3メ
である。
gr+3-24
ア
カ]となる。
イウIt+ エオ|a+
(2) yの最小値が -17 となるとき, aの値は a=
「キク
である。
ケ
|コサ
セソ
(3) xの方程式 f(x) = 0 が異なる2つの負の解をもつとき、定数aの値の範囲を求めると,
となるか
|シス」
タ
である。
解答
オ= log。
Key 1
(1) すべての実数 xに対して 2* >0 であるから
解答
>0
また
y= (2*)? +a·2°-2* +11a+3="+4at+11a+3
(2) g(t) = °+ 4at +11a+3 とおく。
9(t) = (t + 2a)°-4d°+11a+3 であるから
(i) -2aS0すなわち a20のとき
Key 1
SoRn
t=0 を範囲に含まないため、
Key 1
y=g(t)のグラフは右の図のようになり, g(t)
は最小値をもたない。
ゆえに,最小値が -17 となることはない。
(i) -2a>0すなわち a<0のとき
最小値をもたない。
11a+3
-2a1
OT。
2013)
y= g(t)のグラフは右の図のようになり, g(t) は
t= -2a のとき最小値 -4α°+11a+3をとる。
最小値が -17 のとき -4α°+11a+3= -17
(4a+5)(a-4)=0 となり
Key 2
4y
2a
0
4a°-11a-20 = 0
a<0 より
5
ー =D
-4d°+11a+3}
(3) x<0 のとき
xの方程式 f(x) = 0 が異なる2つの負の解をもつとき,tの2次方
程式 g(t) = 0 は区間 0<t<1 に異なる2つの実数解をもつ。この
とき,y= g(t)のグラフは次の図のような放物線になる。よって
(i) 放物線 y = g(t) の頂点のy座標が負で
あるから
t= 2* < 2° = 1
Key
0080
4y
-4a°+11a+3<0
(ii) 放物線 y= g(t) の軸はt=-2a より
方程式 g(t) = 0 の判別式が
D>0 としてもよい。
(O108 00
0<-2a<1
9(0)%
() g(0) = 1la+3>0
-2a
0
1
(iv) g(1) = 15a+4>0
(i)より
ゆえに aくー
3くa
4
oiOe
(ii)より
1
くaく0
2
(iv)
3
()より
a>
3
11
1
2
= -0.2727.…
11
1
0
4
4
3
(iv)より
4
=-0.2666..
15
15
3
4
15
4
11
(i)~(iv) より,求めるaの値の範囲は
1
15
攻略のカギ!
Key 1文字で置き換えたときは, tの値のとり得る範囲に注意せよ
t= a*(a>0, aキ1) とおくとき
(ア) xがすべての実数値をとって変化するとき
(イ)xがpSxハq の範囲で変化するとき
a>1 ならば aP Stsa'
43 (p.177)
t>0
0<a<1ならば α" Zt2d
