基本 例題 125 2次方程式の解と数の大小 (1)
00000
2次方程式x2-2(a+1)x+3a=0が,-1≦x≦3 の範囲に異なる2つの実数解を
もつような定数αの値の範囲を求めよ。
[類 東北大 ] 基本 123 124 重要 127
指針 p.192, 194 で学習した放物線とx軸の共有点の位置の関係は、そのまま2次方程式の解
と数の大小の問題に適用することができる。
すなわち、f(x)=x2-2(a+1)x+3α として
2次方程式(x)=0が-1≦x≦3で異なる2つの実数解をもつ
⇔放物線y=f(x) がx軸の1≦x≦3の部分と, 異なる2点で交わる
したがって D>0, -1<軸<3, f-1030で解決。
CHART 2次方程式の解と数の大小 グラフ利用 D, 軸, f (k) に着目
解答
この方程式の判別式をDとし, f(x)=x2-2(a+1)x+3a とす
る。 方程式 f(x)=0が-1≦x≦3の範囲に異なる2つの実数
解をもつための条件は, y=f(x) のグラフがx軸の-1≦x≦3
の部分と、異なる2点で交わることである。
-1<軸 <3
yA
+
したがって、次の [1]~[4] が同時に成り立つ。
[1] D > 0
[2] -1<軸<3
[3] f(-1)≥0 [4] f(3)≥0
[1] 101=(-(a+1)-1・3a=a-a+1=(a-1/2)+12/
よって, D>0は常に成り立つ。
......
[2] 軸は直線x=α+1で, 軸について
(*)
-1<a+1<3 すなわち -2<a<2
......
①
[3] f(-1)≧0から
(−1)-2(a+1) (-1)+3a≧0
3
ゆえに
5a+30 すなわち a≧!
****..
5
[4] f(3) 0 から
32-2(a+1) ・3+3a≧0
012
ゆ
-3a+3≥0
すなわち a≦1.
③
① ② ③ の共通範囲を求めて
3
≤a≤1
5
注意 [1]の(*)のように、αの値に関係なく、常に成り立つ条件もある。
a+1
-1
3
x
