⑶にて x=-1では不連続にならないのですか？ 確かにlim[x→-1+0]f(x)=f(-1)は成り立ってますけど、 その負側ではすぐに途切れているので不連続だと思いました。

基本(例題 56 関数の連続 不連続について調べる -1≦x2 とする。 次の関数の連続性について調べよ。 (1) f(x)=x|x| (2)g(x)=-1 (x-1)2 (3)h(x)= [x] ただし,[]はガウス記号。 (x+1), g(1)=0 P.97 基本事項 重要 57, 58、 指針 関数 f(x)がx=αで連続limf(x)=f(a)が成り立つ。 また, f(x) がx=αで不連続とは [1] 極限値 limf(x) が存在しない XIA [2] 極限値 limf(x) が存在するが limf(x)=f(a) XIA のいずれかが成り立つこと。 解答 x-a 関数のグラフをかくと考えやすい。 099 2章 関数の連続性 (1) x>0 のとき f(x)=x2 x<0 のとき f(x)=-x2(1),(2)多項式で表された よって limf(x)=limx2=0, x+0 x+0 limf(x) = lim(-x2)=0 x-0 x→0 0 また f(0)=0 ゆえに limf(x)=f(0) よって, x=0で連続であり -1≦x≦2で連続。 (2) limg(x)=lim =8 x→1 x-1 (x-1)² 極限値 limg(x) は存在しないから 関数は連続関数であるこ とと p.97 基本事項 1 ③ に注意。 関数の式が変わ る点 [(1) ではx=0, (2) ではx=1] における連 続性を調べる。 なお (3) では区間の端点での連続 性も調べる。 x→1 -1≦x<1,1<x≦2で連続; x=1で不連続。 (3) -1≦x< 0 のときん(x)=-1, 0≦x<1のとき h(x)=0, [x] は x を超えない最大 の整数。 1≦x<2のとき h(x)=1, h(2)=2 よって limh(x)=-1, limh(x) = 0 ゆえに, 極限値limh(x)は存在しない。 x-0 x+0 x→0 limh(x)=0, limh(x)=1 ゆえに, 極限値 limh(x) は存在しない x→1-0 x→1+0 limh(x)=1, h(2)=2 X-2-0 x→1 ゆえに lim h(x)+h(2) x2-0 よって -1≦x< 0, 0<x<1, 1 <x<2で連続 ; x = 0, 1, 2で不連続。 (1) f(x)* 4 (2) g(x) 14 0 2 x -1 0 1 1 2 X (3) h(x) 入らない 2 1 fm?= f(-1) 12 -1 スー1+0 0 1 2 -1

⑶において なぜm→+0のときt→+0となるのですか

EX 342 のすべてにそれぞれ1点で接する円の半径をbとする。 ただし, baとする。 xy 平面の第1象限内において, 直線l: y=mx(m>0) とx軸の両方に接している半径αの をCとし,円Cの中心を通る直線y=tx(t>0) を考える。 また, 直線lとx軸,および, (1) tをm を用いて表せ。 (2)を用いて表せ。 (3) 極限値 lim 1 b a m+om -1 を求めよ。 [東北大 ] YA ←直線 y=tx は,直 (1) 直線 y=tx と x 軸の正の向きが なす角を0とすると, 直線lとx軸 の正の向きがなす角は20である。 軸の正の向きとの なす角の二等分線である a → x 0 a y=tx 2 tan よって m=tan20= 1-tan 20 10-00- 2t ゆえに m=. ① 1-12 よって mt2+2t-m=0 -1±√1+m² ゆえに t= m -1+√1+m² t0, m>0であるから t= m ←2倍角の公式。 =00 ←tan0=t 500g ←tの2次方程式とみて 解の公式を利用。 (2) 半径が6である円をDとする。 Dの中心からx軸に下ろし (1) の図の黒く塗った直 た垂線にCの中心から垂線を下ろすと, sin0 について 角三角形 b-a a+b √2+1 b 1 t b-a = すなわち = a+b √t²+1 b 8209-1+ a b a -=Aとおくと A-1_ t 1+A 分母を払い, 変形すると √2+1-t>0であるから √2+1 (√2+1-t)A=√t2+1+t √ t²+1+t _ (√ t²+1+t)² = √√1²+1-t (√1²+1)²-12 A= したがって tan0=tから得られる直 角三角形 +2+1 =(√1²+1++)² ←分母の有理化。 1/2=(√+1 +t) ② a ...... (3) ①,② および,m→ +0 のとき t→ +0 であることから 1/6 iimo (22-1)=im 1-12 (21°+21F+1) m→+0m a t+0 2t =lim(1-t)(t+√t°+1)=1 t→+0 ←(√2+I+t) =2t2+1+2t√2+1, 2t で約分。

次の極限値を求めるのですが、(kは整数) 模範解答がまったく理解できません 自分なりにグラフを描いてみたのですが、 これをヒントに何か導き出せませんか

(1) k- k-12<x<kのとき [x]=k-1 また,このとき2k-1<2x<2k であるから [2x]=2k-1 lim ([2x]-2[x])=2k-1-2(k-1)=1 よって xk-0 ←x→k-0を考えるか らん- 11/ <x<kとする。 2

⑵の問題で 青い付箋に書いた考えではダメなのでしょうか

基本 例題 例題 52 関数の極限 (4) ･･･ はさみうちの原理 00000 次の極限値を求めよ。 ただし, [x] は x を超えない最大の整数を表す。 (1) lim [3x] →∞ x (2) lim(3*+5*)* X1x p.82 基本事項 5, 基本 21 |指針 極限が直接求めにくい場合は、 はさみうちの原理 (p.825 ①の2)の利用を考える。 (1) (1) 解答 x なぜ 5= bin 5412111* = 5. (0+1) = 5 7700 としてはダメなのか? XC X ガ よい。 1 [3x] よって 3- x x X18 lim (3-1)=3 ≤3 =3であるから f(x)≤h(x)≤g(x) T limf(x) = limg(x)=α X→∞ 80+X [3x] lim =3 ならば limh(x)=α x→∞ x (2) (3*+5*)*=(5*{(3)*+1}}*=5{(3)*+1}* x→∞であるから,x>10<<1と考えてよい。 このとき{( 23 x x→∞ 底が最大の項5でく くり出す。 {(³)*+1}°<{( 3 )*+1}*<{(3)*+1}'... (*) 4>10, a<b すなわち1<{( 23 ) +13 (13) +1 X1x lim {(1/3) +1} =1であるから =1であるからlim (2/2)+1=1 x→∞ よって lim (3*+5*) * = lim 5{( 3 ) * +1}* =5.1=5 x→∞ x→∞ ならば A°<A° (12/3) +1>1であるか ら,(*) が成り立つ。 習 次の極限値を求めよ ただし 「

極限の問題です。 緑マーカーのところがわかりません。 教えていただきたいです。 よろしくお願いします

問題7. 次の極限値を求めなさい。ただし、は自然対数の底を表します limz (log. (4+3x+2x²)-log. (1+2 r²)}

(2)で少なくともa＞0になるのはなぜですか。

第4章 基礎問 86 第4章 極限 49 関数の極限 (II) 次の式をみたすもの値を求めよ。 (1)/ lim 1-2 av '+2x+8+ 3 x-2 = 4 (2)/lim{vr2-2x+4-(ax+b)}=0 18 (大) mil =lim (1-a)-2(1+ab)x+4-b² →∞ 精講 このタイプもIIB ベク82 で学習済みですが, ポイントになる考え 方は,不定形は 「極限値が存在しない」のではなく, 「存在する可能 =lim- 8 87 (2) lim-2x+4+∞だから、 与式が成りたつためには、少なく P とも,a>0.このとき lim (-2x+4-(ax+b)) →∞ =lim 811 {v-2x+4-(a+b){-2x+4+(x+b)) x²-2x+4+(x+b) -2x+4+ax+b 4-62 (1-a)x-2(1+ab)+· I 2. 4 ・① 1- + b +a+- I (x→ +∞ より 0 と考えてよい 性は残っている」 ということです. (1)では, →2のとき分母→0. このとき, 「分子→0以外の定数」 ならば,極 は∞となるので、2にはならない。よって、極限値が4になるとす れば,「分子→0」 となる以外に可能性は残されていない この極限値が0になるので、1-60,a>0より1 ①式=-(1+b)=0 このとき :.b=-1 逆に,=1,b=-1 のとき, 3 (与式の左辺) = lim = 0 1-0 √x²-2x+4+x−1 ただし、この考え方は必要条件になるので,最後に吟味(=確かめ) を忘れな いようにしなければなりません。 となり確かに適する. 吟味 A ポイント 不定形は, 極限値が存在しないと決まっているのでは

（２）はなんで定義域が実数全体なのか分かりません。勿論ながら連続の判断の仕方も分かりません💦教えてください🙇🙇

STEP B □ 111 次の関数 f(x)の定義域をいえ。 また, 定義域における連続性について調べよ 1 (1) f(x)=- x2-1 x+1 *(2) f(x)=x-[x]

なぜ弧ABがΘになるのでしょうか。教えていただきたいです。

15 応用 半径1の円0の周上に,中心角の弧 例題 3 AB をとり, AからOB へ垂線ACを 5 引く。 このとき, 次の極限値を求めよ。 AB (1) lim- BC (2) lim 0+0 AC 2 0 +0 AB Tips 線分AC, OC や AB の長さを0を用いて表す。 解 (1) ∠AOC = 8 より AC=OAsin0=sin0 10 10 また, AB=0であるから AB lim = = lim 0+0 AC 6→+0 sinθ (2) BC=OB-OC=1-cose より BC lim 0→+0 AB 2 =1 1-cos == lim B CosD 0 A A 0 +0 02 =lim (1-cos) (1+cose) 0 +0 02(1+cos0 ) =lim 1-cos20 e+o02 (1+cose) =lim sin20 0+002(1+cos 0) =lim 0 +0 =12. 2 {(sino)². 1 1+1 = 1 2 1+cosg} ま Sosing (土) mil

この問題についてで、解答と最初の計算は合っているのですが、途中から違ったように計算していて、写真の式の最後のところで、log0になってしまったのですが、変形が間違っているということですか？それともこれでは計算出来ないから違う方法で計算しなければいけないということですか？回答... 続きを読む

思考プロセス 例題] どの箱に入る確率も等しいとする。 どの箱にも1個以下の球しか入ってい 個の球を2個の箱へ投げ入れる。各所はいずれかの箱に入るものとし log n ない確率を pm とする。 このとき, 極限値 lim n→∞ n を求めよ。(京都大改) « ReAction 確率の計算では、同じ硬貨・ さいころ 球でもすべて区別して考えよ 例題214 段階的に考える まずを求める Dn = n個の球は区別して考える。 (__となる場合の (異なるn個の球が2n個の箱に入る場合の数) = ( 積や指数を含む式) 区別したn個の球を 2n個の箱からn個の箱 を選んで入れる入れ方 9A « Re Action n項の積の極限値は、対数をとって区分求積法を利用せよ 例題 172 33 x b (x) t n個の球が2n個の箱に入る場合の数は (2)" 通り どの箱にも1個以下の球しか入らないようなn個の球の入 り方は 2P通り 球は区別して考える。 2n個の箱から,球を入れ n個の箱を選び、どの が入るか考える。 球は区別して考えるから 気 よって 2nPn kn === (2n)" を使う時 ゆえに (2m) A のいつけないと(0) 2n log pn C ではなく 2P であ る。 lim lim n→∞ n 2mPm 間違う。 n -log- non (2n)" (2n) (2n-1)(2n-2). lim non lim -log 2n log + log 1/{10 n→∞n 2n ... (2n) n {2n-(n-1)} 2n-2 2n-1 + log 2n 2n ・+log. 2n-(n-1) 2n nie lim 1n-1 n→∞nk=0 = = lim non log 2n-k 2n log 2 n k=0 )= log(1-x)dx =[-2{(1-1/2x)100(1-1/2)-(1-1/2x)} = 10g2-1 ■1741からnまでの粘 = logxdx Slogx =xlog.x-x+c -log- 1

質問です！大問103のように置換（x−１＝tと置くと…みたいな）しないといけない問題と普通に置換しなくてもできる問題の２種類があるんですけど、置換する場合の見分け方ってありますか？

第2章 極限 第2章 極限 三角関数と極限 1 関数の極限と大小関係 limf(x) = α, limg(x) =β とする。 1 x-a xがαに近いとき、常に f(x)≦g(x) ならば α≦β 2 xがαに近いとき,常に f(x)≦h(x)≦g(x) かつα=B ならば limh(x)=α 注意 上の事柄は,x→∞, x→∞の場合にも成り立つ。 注意2を「はさみうちの原理」 ということがある。 3 limf(x) =∞ のとき,十分大きいxで常に f(x)≦g(x) ならば limg(x) =∞ |2 三角関数と極限 lim x0 sinx =1, x lim -1 (角の単位はラジアン) x-0 sinx STEPA ■次の極限を求めよ。 [ 104, 105] □ 104(1) lim 1-cos 3x x→0 x2 1 *105 (1) limxcos x 0+x 第2節 関数の極限 31 0 x01−cosx sinx2 (2) lim- 1+sinx (2) lim x 例題 7 中心が0, 直径ABが4の半円の弧の中点をMとし,Aから出た光線 が弧 MB上の点Pで反射して, AB上の点Qにくるとする。 (1) 0=∠PAB とするとき, OQの長さを0で表せ。 (2)PがBに限りなく近づくとき, Qはどんな点に近づいていくか。 |指針 Aから出た光線が弧 MB上の点Pで反射して, AB上の点Qにくるとき ∠OPA = ∠OPQ 求めるものを式で表し, 解答 (1) 右の図において sin 0 0 などの極限に帰着させる。 ∠OPQ= ∠OPA=∠OAP=0 ∠PQB= ∠PAQ+ ∠APQ=30 2 *(2) lim (3) lim x tanx x–0 sinx よって ∠OQP=30 △OPQに正弦定理を用いると, OP=2 であるから ✓ 99 次の極限を調べよ。 (1) lim cos- ■次の極限を求めよ。 [ 100~103] 100 (1) lim- x0 OQ 2 sin sin(л-30) 2sin0 また, sin (π-30)=sin30 であるから 0Q=- sin 30 M 30 Q B (2)PがBに限りなく近づくとき, 0 +0 である。このとき sin2x x0 1−cosx 2sin0 2 sinė 30 2 lim OQ= lim -= lim 0 +0 e+o sin30 -+0 3 0 sin 30 3 よって,Qは線分 OB上のOからの距離にある点に近づいていく。圏 □ 106 半径αの円の周上に動点Pと定点Aがある。 Aにおける接線上に AQ=AP であるような点Qを直線OAに関してPと同じ側にとる。PがA sin4x xC sin2x *(2) lim x-o sin5x (3) lim x-0 tant sin3x tan2x-sinx □ 101 (1) lim- *(2) lim x→0 x 1-cos 2x x-0 xsinx (3) lim x→0 sin3x+sinx sin2x □102"(1) lim COS X sin2x (2) lim- (3) lim x皿 4 に限りなく近づくとき, PQ の極限値を求めよ。 ただし, AP は ∠AOP AP (0∠AOP</V)に対する弧AP の長さを表す。 ax+b 1 1 2x 107 等式 lim が成り立つように, 定数 α, bの値を定めよ。 COS X 2 103*(1) lim tan x° x0 x *(4) lim sin x x1 x-1 1−cosx t- sinx STEPB *(2) lim X-1 sin(x-x) x一π (5) lim x→0 sinx sin(sinx) (3) limx- lim (x-4)tan.x x- xn (6) limxsin X8