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187 基本事項
01 DO
重要 例題 1122次不等式の解法 (3)
191
次の不等式を解け。 ただし, αは定数とする。
(1) x²+(2-a)x-2a≤0 (2) ax²≤ax
基本110
文字係数になっても,2次不等式の解法の要領は同じ。 まず, 左辺 = 0 の2次方程式を
指針
解く。 それには ① 因数分解の利用 ②解の公式利用
が、ここでは左辺を因数分解してみるとうまくいく。
の2通りある
2次方程式の解α,βがαの式になるときは,との大小関係で場合分けをしてグ
ラフをかく。もしくは,次の公式を用いてもよい。
a<βのとき (x-a)(x-B)>0⇔x<a, B<x
(xa)(x-B) <0⇔a<x<B
(2)x2の係数に注意が必要。 a0a=0,α<0 で場合分け。
CHART (xa)(x-3)の解α, B の大小関係に注意
の場合、左
形に。
に。
-1<
●場合、左の
コピー4+50円
ての実数
v>0
(1)x2+(2-α)x-2a≧0から
解答
[1] a<-2 のとき,①の解は
a≤x≤-2
[2] a=-2 のとき,① は (x+2)'≤0
よって,解は x=-2
[3] -2<αのとき, ① の解は
(x+2)(x-a)≤0
①
[2]
[3]
x
x
a
a
0
-2
-2≤x≤a
以上から
a<-2のとき
a≦x≦2
2-4x+10
a=-2のとき
2<αのとき
(2) ax≦ax から ax(x-1)≤0. ①
0>(8-)(1
x=-2
-2≦x≦a
[1]a>0 のとき, ①から
x(x-1)≤0
両辺を正の数αで
ときy=l
ときy>
よって,解は
2010-
[2] α=0 のとき,①は 0x(x-1)≦0
これはxがどんな値でも成り立つ。意
よって、は すべての実数
[3] a< 0 のとき, ①から
+6
・軸は共有
これと
下に
っては x0,1≦x
以上から
x(x-1)≥0
>0
すべて
a>0 のとき 0≦x≦1;
a = 0 のとき すべての実数;
a<0 のとき x≦0, 1≦x
割る。
(
となる。 は
「< または = 」 の意味で,
<とのどちらか一方
が成り立てば正しい。
①の両辺を負の数αで
割る。 負の数で割るから、
不等号の向きが変わる。
注意 (2)について, ax≦ax の両辺をax で割って, x≦1としたら誤り。 なぜなら、
ax = 0 のときは両辺を割ることができないし, ax < 0 のときは不等号の向きが変わ
るからである。
