重要 例題 67 定義域によって式が異なる関数 (1)
[α] は実数 a を超えない最大の整数を表すものとする。
1 [23], [1] [-√3] の値を求めよ。
(2)
関数y=2[x] (-3≦x≦2) のグラフをかけ。)
指針
問題文にも示されているが,一般に, 実数xに対して, x を超えない最大の整数(x以下の
最大の整数)を [x] で表すことがあり,この記号[]をガウス記号という。
(1) 例えば,[1.2], [-1.2] について, 数直線を利用して考えてみよう。
1 ≦1.2 <2であるから、 右の図より, 1.2 を超えない最大の整数
は1
つまり
[1.2]=1
また -2≦-1.2<-1であるから、 右の図より 1.2を超えない
最大の整数は2 つまり [-1.2]=-2
-1ではない!
[2.3], [1], [-√3] についても同様に考える。
(2) ガウス記号の定義を式で表すと, 次のようになる。
nを整数とすると n≦x<n+1ならば [x] =n
「整数 「整数
このことを利用して, -3≦x<-2, -2≦x<-1,
幅は1
幅は1
解答
(1) 2.3, 1-√3 を数直線上に表
すと、右図のようになる。
よって [2.3]=2, [1]=1,
[-√3]=-2
(2) -3≦x<-2のときy=2(-3)=-6
ー2≦x<-1のときy=2(-2)=-4
-1≦x<0 のとき
y=2(-1)=-2.
0≦x<1
のとき
y=2・0=0
1≦x<2 のとき y=2･1=2
x=2
のとき y=2・2=4
よって, グラフは右図のようになる。
/3
0
2F
******
0
2.3
2
1
3
-4
-6
00000
2x
A
1.2
-1.2-1 x
などと場合分けをする。
<2≤2.33, 11<2,
-2-√3-1
<[-√3] = -1 は誤り!
各場合はいずれも
a≦x<bの形であるから,
グラフの左端を含み, 右端
を含まない。
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2008 関数とグラフ
3章
