任意の実数 x, yに対して, 等式(x+y)= (x)/ (y), (x)>0が成り立つと
任意の実数 x, y に対して, 等式 (x+y)=D(x)+ (y) が成り立つとき,
き,(0)を求めよ。また, f(x) を a, {(x) で表せ。
(0), (x) を求めよ。
(0)を求めよ。 また, ア(x) をa, {(x)で表せ。
このようなタイプの問題では, 等式に適当な数値や文字式を代入する
ことがカギとなる。 (0) を求めるには、 x=0や y=0の代入を考えてみる。
満習 152
ま
また,f(x) は 定義 『(x)=lim/r+h)-(x)
入して得られる式を利用して, f(x+h)-(x)の部分を変形していく。
に従って求める。等式に y3hを代
h→0
h
解答
0 f(x+y)=f(x)+f(y)
0にx=0 を代入すると
のとする。
『(y)= (0)+f(y)
の
イx=y=0 を代入してもよい
のの両辺から /(y) を引く
4(x+h)=/(x) +(h) から
『(x+h)-(x)=(h)
よって
f(0)=0
また, ① に y=hを代入すると
S(x)=lim
f(x+h)-(x)
h
S(h)
ゆえに
lim
h→0 h
h→0
lim
h=0
=(0)=a
h
=lim
h
h→0
(*)(0)3D0
2) F(x+y)=f(x)f(y) …… ②とする。
1のにx=y=0 を代入すると
よって f(0){F(0)-1}=0 S(0)>0であるから 「(0)=1
また, ② に y=hを代入すると
f(0)=f(0)/(0)
(0)の2次方程式とみる。
4条件f(x)>0 に注意。
(x+h)=Df(x) (h)
=lim
h
h
h→0
ゆえに f'(x)=lim
h→0
h
h→0
0+h)-0-(x)·f'(0)=af(x) |/(0)-1, /(0)-a
h
=/(x)-lim
カ→0
S(x)-)adx=ax+C (Cは積分定数)
ゆえに C=0
数学Iで学んだ積分
法の考えを利用。
あら
よって f(x)=ar
わ等すを関数方程
