B 数列
150 S と an の関係式
(A)
数列{a}の初項から第n項までの和をSとするとき,
Sn=2an-n (n=1, 2, 3, ...) が成り立っている.
(1)
α1 を求めよ .
解答
Sn=2an-n
(1) ①でn=1 とすると,
(2)一般項 an を求めよ.X
(立教大)
29-5
2(0-1)-6-1)
20-2-1-1
Si=201-1
であり, S=a であるから,
zan-n-1
a₁=2a1-1
(2)条件式より、
.. a₁=1
Sn+1=2an+1-(n+1),
Sn=2an-n
であり、両式の差を考えると,
Sn+1-Sn=2an+1-2an-1
①のnを一斉に n + 1 に変える
Sn-Sn1 = α (n≧2) であるから,
Sn+1-Sn=an+1 である
an+1=2an+1-2a-1
an+1=2an+1
②を変形すると,
an+1+1=2(a+1)
これは基本形の漸化式である
36₁ = 42
b1=az
これより, 数列{an+1}は公比2の等比数列であり,初項は,
a₁+1=1+1=2
である. よって
an+1=2・2"-1=2"
an=2"-1
an-11=2am-1
2=2x-11
anti-=2(0,-ス)
解說講義
Anπ = 2 (ant!)
Goll ba
bace 22 bm
an と Sn が混ざっていては考えにくい.このような場合には, 144 で勉強した 「和と一般項
の関係」を用いて Sn を消去して,{a} についての関係式 (漸化式) を手に入れることを考え
よう. 解答のように,①のn をn+1にした式を準備してその差を考えれば, Sn+1-Sn=an+1
によって,すぐに{a}についての関係式を手に入れることができる.
文 系
数学の必勝ポイント
an と Sn の混ざった条件式
和と一般項の関係によってS" を追い出して, {az}についての関係式
を手に入れる (nを1つずらした式を用意して差を考えるとよい)
