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基本 例題 128 三角形の内角の二等分線の長さ (1)
00000
(1)△ABCにおいて,∠Aの二等分線が辺BCと交わる点をDとするとき
BD:DC=AB: AC が成り立つことを証明せよ。
A
(2)△ABCにおいて, BC=6,CA=5, AB=7 とし, ∠Aの二等分線と辺
BCの交点をDとする。 (1) を利用して線分AD の長さを求めよ。
CHART & SOLUTION
三角形の内角の二等分線の長さ
基本 120 121
1 余弦定理の利用
② 面積の利用
三角形の内角の二等分線については,(1)のような性質がある。この性質を利用して, (2) で
は余弦定理を使ってADの長さを求める。
②面積の利用は、後で学習する (p.214 基本例題 133 参照)。
解答
(1) ∠A=20, ∠ADB = α とすると, △ABD
とACD において, 正弦定理により
A
別解 (1)
0日 180°-α
A
BD AB
=
sino sina'
DC
=
08
AC
B
sin sin (180°-α )
a
C
00 m
sin(180°-a)=sinα であるから,これらを変形すると
sin
sin
BD=
-AB, DC=
-AC
sina
sina
よって
BD: DC=AB: AC
JBDC
(m) d
図において, AD // EC と
すると, ∠AEC=∠BAD
=∠CAD=∠ACE から
AE=AC