Che
例題 310 漸化式と確率 (3)
BASE ****
数直線上を原点から右(正の向き) に硬貨を投げて進む.表が出れば1
進み,裏が出れば2進むものとする.このようにして,ちょうど点nに到
達する確率をpn で表す.ただし, nは自然数とする.
(1) 3以上のnについて, n と D-1 D-2 との関係式を求めよ.
(2)
(n≧3)を求めよ.
「考え方(1)点nに到達するのは,次の2つの場合が考えられる. ¯¯¯(ii)-
(i)
(n-1)に到達して、 表が出る.
immmmii
mmmmm
(ii) (-2)に到達して、裏が出る.
解答
Focus
-
(1) 点nに到達するのは,点(n-1) に到達して表
++
が出る場合か,点(n-2) に到達して裏が出る場
mmmm
in
合である。よって, n≧3のとき,
1_1
m-1--1/7/2
2 2
1
(2) pn=1/21pn-1+1pn-2 を変形して,
Þn—
--2
Pn+ 1² Pn-1=Pn-1 + 1/ Pn-2
1
2'
p=
Pn=Pn-1°¯
P₂=-
3
+ Pn-2- -pn-1+1/2 pn-2
4
初項 pz-p= = 1,公比
RS
だから,数列{bn+1-pn} は,
1/23の等比数列となり,
n+1
132
n-1
Pn+1-pn=1 -(-2) ² - ¹ = (-2)
・①
数列{bn+1+1/12/0} は隣り合う項が等しいから
n-2
3
Pn+1 + 1/ Pn=D₂ + 1/2 P₁ = ³ + ²2-12-
p
4
よって、①,②より, p=//{1-(-1/2)^2}
AABOUT
βとして
n-1
(n-1)+1→n
m
特性方程式
(n-2)+2→n(1)
裏
3項間の漸化式
(京都大)
→n
x² = 1/2x + 7/12/2
-x
-(i)-
の2解x=- 1 を α,
2'
3
p2=pi +
pn-apn-1=B(pn-1-apn-2)
に2通りの代入をする.
2 は次のように考える.
1 1 1
点nに到達する1回前の試行に注目して漸化式を作る
HOMENS
n
1
2 22 2
\ n +1] = 1; = P₂+ =
1
1
Pn+1+₂ Pn=Pn+ 2 Pn-1
+1/201
P₁+
x
DE AARDE
