基本 例題 41 隣接3項間の漸化式 (1)
次の条件によって定められる数列{a} の一般項を求めよ。
_1) a1=0, a2=1, An+2=An+1+6an
2) a1=1, a2=2, an+2+4an+1-5an=0
指針
か
P.475 基本事項 1 重要 43,52
ます,an+2x2, an+1 を x, an を 1 とおいた xの2次方程式 (特性方程式)を解く
その2解をα β とすると, α≠βのとき
an+2-αan+1=β(an+1-aan), an+2-Ban+1=α (an+1-Ban)
が成り立つ。この変形を利用して解決する。
A
(1)特性方程式の解はx=-2, 3→解に1を含まないから、 A を用いて2通りに
表し,等比数列{an+1+2an}, {an+1 - 3an} を考える。
(2) 特性方程式の解はx=1, -5→解に1を含むから, 漸化式は
an+2-an+1=-5(an+1-an) と変形され,階差数列を利用することで解決できる。
(1) 漸化式を変形すると
答
an+2+2an+1=3(an+1 +2an)
an+2-3an+1=-2 (an+1-3an)
(x+2)(x-3)=0から
<x2=x+6を解くと、
①.
②
①より, 数列{an+1+2an}は初項a2+2a1=1, 公比3の
等比数列であるから an+1+2an=3n-1
(3
②より, 数列{an+1-3an} は初項α2-3a=1, 公比-2
の等比数列であるから an+1-3an=(-2)"-1
5an=3"-1-(-2)7-1
③ ④ から
1
したがって
an=
{3"-1-(-2)^-1}
④
x=-2,3
α=-2,β=3として指
針のAを利用。
an+1 を消去。
