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2直線の交点の軌跡
重要例題 111
が実数全体を動くとき,次の2直線の交点Pはどんな図形を描くか。
基本 109
m
mx-y=0
の,
x+my-m-2=0
m+2
x=
m(m+2)
m?+1
指針> 0. ② を連立して解くと
m?+1' ソ=
この2式から mを消去して x, yの関係式を求めようとすると計算が大変。
そこで, 交点Pの座標を(x, y) とすると, (x, y) は①, ② を同時に満たすから, 0, ②
は、mをつなぎの文字とみた軌跡の条件式 であるといえる。
よって, ①, ②から直接 m を消去して, x, yの関係式を求める。
なお, ①, ② が表さない直線があるから, 求めた図形から 除外する点 が出てくることに
ャャキキ*!
注意する。大太Pばど入み図砂を描く切 攻点Pの軌跡はどんなだ
3章
解答
Pの座標を(x, y) とすると, x_yは①, ② を同時に満たす。
[1] xキ0 のとき
ズと3の関低式を作った。
を利用することか
m=
2に代入して x+
0から
m=
x
-2=0
x
ら,xキ0 とx=0の場合に
分けて考える。
x
分母を払って
x°+y°-2x-y=0
5
4やる( }
すなわち
の円。
4
3において, x=0とすると
ゆえに, xキ0のとき, 点Pは円3から2点(0, 0). (0, 1)
を除いた図形上にある。
[2] x=0 のとき
x=0. y=0 を ②に代入すると
よって,点(0, 0)はm=-2のときの2直線の交点である。
以上から,求める図形は,
ソ=0, 1
xキ0 であるから, x=0 の
ときの点は、除外する点と
なる。
Xキ0円
1から y=0
x=0, y=0が①. ② を満
たすための実数mが存在
m=-2
する。
5
円 (x-1)°+(y-)= ただし,点(0, 1) を除く。
4
図形的に考える
直線のは常に原点Oを通る。また, 直線② は, その方程式を変形
すると, x-2+m(y-1)=0 となるから, 常に点A(2, 1) を通る。
ここで、 2直線①, ② の係数について, m·1+(-1).m=0である
から, 2直線0,② は垂直に交わり ZOPA=90°である。
よって, 求める図形は, 線分 OAを直径とする円である。
だだし, ① は直線x=0を, ②は直線y=1を表すことはないから,
その交点(0, 1) を除くことになる。
1
2
2
0
1
練習
Rが実数全体を動くとき, 2つの直線4,:ky+x-1=0, la: y-kx-k=D0 の交点
1はどんな図形を描くか。
(類立教大)
8軌跡と方程式
