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重要 例題 54 ベクトルと座標軸のなす角
000
空間において,大きさが4で,x軸の正の向きとなす角が60°,z軸の正の向きと
なす角が 45°であるようなベクトルを求めよ。 また、万がy軸の正の向きとな
す角0 を求めよ。
基本 51
指針▷(軸の正の向きとなす角)=(●軸の向きの基本ベクトルとなす角)
と考えるとよい。すなわち, i = (1, 0, 0, 0, 1,0),(0, 0,
p=(x,y,z) として,まず内積ber, pes を考え,x, z の値を求める。
解答
₁=(1, 0, 0), e₂=(0, 1, 0), 3=(0, 0, 1), p=(x, y, z)
とすると p•ex=x, p•es=z
また ap.ex=|||eicos60°=4×1×
COS
よって
このとき |=22+y^+(2√2)^=y²+12
|=16であるから
y2=4
ここで
p•es=|p||es|cos 45°=4×1×
x=2,z=2√2
したがって
cos A=
練習
(3) 54
2
pe₂
y
y
4×1
| Blleal = 1X1 = ²²
ゆえに,y=2のとき, cos0= 1/2であるから60°
ゆえに
a₁
lal'
1
a2
lal'
y=-2のとき, cos0=- であるから 0=120°
2
=2
COS Y=
-=2√2
=(2,2,2√2), 0=60° または
p=(2, -2, 2√2), 0=120°
y=±2
a3
|a|
18
x
参考 a = (as, az, as) に対して, こがx軸、y軸, z軸の正の向きとそれぞ
れなす角を α, β,yとすると,斜辺の長さがaである3つの直角三角形
から cosa=
cos β=
60°
UWENT
AZ
45°
.........
である。 このとき, COS α,
0, 1), 9 (S)
COS β, cosy をdの方向余弦という。
また, laf = a^²+a' + α32 であるから, cos'a+cos' β+cos²y=1 が成り
立つ｡
Do
O
[別解
p=(4 cos 60°, 4 cos 0,
4 cos 45°), ||=4であるか
ら
p
22+16cos20+(2√2)=4²
よって, cos'0=-
=+1/2/2
これからを求める。
y
- から
cos 0 = ±
a?
ひ
a2y
(1) 空間において,x軸と直交し, Z軸の正の向きとのなす角が45°であり,y成
分が正である単位ベクトルを求めよ。
がある
なるように占
465
21
空間ベクトルの内積
