例題26 直線x+y=1
①が円x+y=4
と、線分の中点の座標を求めよ。
・②によって切り取られてできる線分の長さ
解答 円 ②の中心 (0, 0) と直線 ①の距離を とすると
①
|-1|
d=
=
√√12+12
円 ②の半径は2であるから, 線分の長さを1とすると
12=22-d2=4--
1 7.
-2
2x
2-2
10であるから
1=
17_V14
=
-2
よって, 線分の長さは 21=√14
また、線分の中点は,円②の中心 (0, 0) から直線①に
下ろした垂線と, 直線 ①との交点である。
この垂線の方程式は y=x
③ ①③を解くとx=/12y=1/2
よって、線分の中点の座標は
2
足 線分の中点のx座標は, 2次方程式の解と係数の関係を用いて求めることもできる。
①,②から」を消去して 2x2-2x-3=0
この2次方程式の解を α β とすると, 解と係数の関係により
a+β=1
線分の両端の x 座標は α,βであるから,線分の中点のx座標は α+B
= 2
