重要 例題 34 「少なくとも1つは･･･」の証明
1 1 1
1
+ +
x y
2
x+y+z
1つは0であることを証明せよ。
CHART O OLUTION
よって
証明の問題 結論からお迎えに行く
まず結論を示すには,どんな式が成り立てばよいかを考える。
x+y,y+z, z+xのうち少なくとも1つは0である。)
⇔ x+y=0 または y+z=0 または z+x=0
⇔ (x+y)(y+z) (z+x)=0
よって, * を証明すればよい。
1 1
+
XC y 2
1
+
1
x+y+z
00000
であるとき, x+y,y+z, z+xのうち少なくとも
[香川大〕
の両辺に xyz(x+y+z) を掛けると
(4+5)-(1+0
(x+y+z) (yz+zx+xy)=xyz
{x+(y+z)}{(y+z)x+yz}-xyz=0
(y+z)x2+(y+z)2x+yz(y+z)=0
(y+z){x2+(y+z)x+yz}=0
(y+z)(x+y)(x+z)=0
ゆえに
y+z=0_または x+y=0 または x+z=0
したがって, x+y,y+z, z+xのうち少なくとも1つは0で
ある｡
⇔(x-y)(y-z)(z-x)=0031-6
② x,y,zの少なくとも1つは1に等しい
MOITUTO
INFORMATION
上の例題のように、結論から解決の方針を立てる考え方は大切で、証明の問題に限ら
ず, 有効な方法である。
以下には、代表的なものを紹介しておく。 +1-
① x,y,zの少なくとも2つは等しい) (--
⇔ (x-1)(y-1)(z-1)=0
③実数x,y,zのすべてが1に等しい
⇔ (x-1)2+(y-1)+(z-1)^=0
PRACTICE・・・ 34 ④
a+b+c=1,
- F
基本 24
xについての式と見て
計算する｡
53
1
1 1
+
+
a b
-=1 であるとき, a,b,cのうち少なくとも1つは1である
C
inson al
1章
等式・不等式の証明
91
[Z)]
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4
