(3) 数列(a)が収束するようなa, 6を座標とする点(a, b) の存在する
化式と極限(1)
2つの数列{a,), (bn}は, a=a, b、=1-a,
(n=D1, 2, …)
an+1=aan+bbn
16m+1= (1-a)an+(1-6)bn
を満たしている。ただし, a, bは実数である。
(1) an+b,=1 を示し, an+1 を an, a, bを用いて表せ,
(2) an をn, a, bを用いて表せ。
(富山
囲を図示せよ。
一精講
an+bn=1 を用いてbnを消去する
と,典型的な2項間漸化式
解法のプロセス
anの2項間漸化式を導きー
項を求める
an+1= pantq
が現れます。p=1 のときは,
an+1-Qn=q (等差数列)
カキ1 のときは,
anの収束条件は
無限等比数列の収束条件に帰着
an+1
q
1-p
と変形することで一般項がわかります。
無限等比数列の収束条件は, 標問3で学びました。
解答)
Jan+1=aan+bbn
|bn+1=(1-a)an+(1-6)bn
1) O+2より
(2
an+1+ bn+1=an+bn
すなわち, {an+bn} は一定の数列であるから
ant bn=a+b,=a+(1-a)=1
のと3より b,を消去すると
an+1=aan+b(1-an)
an+1=(a-b)an+6
(i) a-b=1 のとき, an+1-an=b より
an=ai+(n-1)b=a-b+bn
an=1+bn
