例題 41 2 つの2次方程式の解の判別
は定数とする。 次の2つの2次方程式
x2-kx+k2-3k=0
①, (k+8)x2-6x+k=0
について,次の条件を満たすんの値の範囲をそれぞれ求めよ。(
(1) ①,② のうち、少なくとも一方が虚数解をもつ。
(2) ①,② のうち,一方だけが虚数解をもつ。
00000
②
指針 )については, 2次方程式であるから、xの係数について,k+8≠0 に注意。
①,②の判別式をそれぞれ D, D2 とすると,求める条件は
(1) D, <0 または D2<0 -
→
解を合わせた範囲 (和集合)
基本 40
(2)(100) または (D≧0 かつD2 <0) であるが,数学Ⅰでも学習したよ
うに, Di<0, D2<0の一方だけが成り立つ範囲を求めた方が早い。
......
チャート式基礎からの数学Ⅰ+Ap.200 参照。
CHART 連立不等式 解のまとめは数直線
②の2次の係数は0でないから k+8±0 すなわちんキー8 普通, 2次方程式
S
解答 このとき、 ①,②の判別式をそれぞれD1, D2 とすると
D=(-k)2-4(k2-3k)=-3k+12k=-3k(k-4)
=(-3)²-(k+8) k=-k²-8k+9 8+ (S-1)
D₂
4
=-(k+9)(k-1)
(1) 求める条件は,kキー8のもとで
D1 <0 または D2<0
ax2+bx+c=0 とい
うときは,特に断りが
ない限り, 2次の係数
aは0でないと考え
る。
D< 0 から kk-4)>0
ゆえにk <0,4<k
kキー8であるから
Yet
<-8, -8<k < 0,4<h ...... ③ >
10% 0.00
D< 0 から (k+9)(k-1)>0
③
よって
k<-9, 1<h
......
-9-8
プ
(2) ①②の一方だけが虚数解をもつための条件
は, Di < 0, D2<0 の一方だけが成り立つことで
ある。
の場合、
求めるkの値の範囲は, ③と④の範囲を合わ
#k<-8, −8<k<0, 1<k
01
4
k
>>
③
③
-9-8
ゆえに、③④の一方だけが成り立つkの範囲
01
4
を求めて-9≦k<-8,-8<k<0,1<k≦4
