-
![]()
100
基本例題63 解から係数決定(虚数解)
OOO00
3次方程式 x°+ax+bx+10=0 の1つの解が x=2+i であるとき、史
の定数 a, bの値と他の解を求めよ。
(山梨学院大)
p.94 基本事項2, 基本 62
AOIRUNI
CHART OSOLUTION
x=α がf(x)30 の解 → f(α)=0
代入する解は1個 (x=D2+i) で, 求める値は2個 (aとb)であるが,
複素数の相等 A, Bが実数のとき A+Bi=0 A30 かつ B=0
により, a, bに関する方程式は2つできるから, a, bの値を求めることができる。
また,実数を係数とする n次方程式が虚数解 α をもつとき, 共役な複素数αも
解であることを用いて, 次のように解いてもよい。
別解1,2 αとαが解であるから,方程式の左辺は(x-α)(x-α) すなわち
x°-(α+a)x+aa で割り切れることを利用する。
3つ目の解をんとして, 3次方程式の解と係数の関係を利用する。
別解3
解答
|inf. x-2=iと変形して
両辺を2乗すると
x°-4x+5=0
x=2+i がこの方程式の解であるから
(2+)°+a(2+)?+6(2+i)+10=0
ここで,(2+i)=2°+3·2°%+3·2ポ+パ=2+11i,
81=D6
これを利用して
(2+)°=2°+2.2i+ぴ=3+4i であるから ー +ax+bx+10 の次数を
2+11i+a(3+4i)+6(2+)+10=0
( ( 下げる方法(別解1の3行
0+x1-(目以降と同じ)もある。
8
とすると、 他方
iについて整理すると
(b.89 基本例題56 参照)
3a+26+12+(4a+b+11)i=0
3a+26+12, 4a+b+11 は実数であるから
全この断り書きは重要。
A, Bが実数のとき
3a+26+12=0, 4a+b+11=0 0ヶ預の
a=-2, b=-3
x°-2x°-3x+10=0
A+Bi=0
これを解いて
ゆえに,方程式は
f(x)=x°-2x?2_3x+10 とすると
C-x)(1-3)-
→ A=0 かつ B=0
こる 開題国
f(-2)=(-2)°-2·(-2)?-3·(-2)+10=0 =-IS
よって,f(x)は x+2 を因数にもつから s-ー )-合益立除法
f(x)=(x+2)(x?2_4x+5)
10 -2
1 -2 -3
8-=o 81=d
-2
8 -10
したがって,方程式は
(x+2)(x°-4x+5)=0
x+2=0 または x°-4x+5=0
ゆえに
1 -4 5
0
x2-4x+5=0 を解くと
x=2±i
よって, 他の解は
x=-2, 2-i
