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例題 221 定積分と
すべての実数xについて, 等式 xf(x)=x+2
f(x) を求めよ。
思考プロセス
« Re Action 上端 (下端)が変数の定積分は,
定理の利用
y=f(x) とおくと
★★☆☆
+2 ff(t) dt を満たす関数
af*f(t)dt=f(x) を利用せよ 1910
Go Ah
微分方程
でその現
探究 例題
薬を血
さで代
をxで微分する
+ xf'(x) =1+2f(x)⇒y+xy'=1+2y
f(x)
し、
微分方程式
にx=1 を代入
1・f(1)=1+2ff(t)dt
0
() iA
解 xf(x) = x+2
2* ƒ (t)dt ...
..① とおく。
163
よって, ②より
両辺を積分すると=fa
①の両辺をxで微分するとf(x)+xf'(x) =1+2f(x)
dy
y = f(x) とおくと x =y+1
dx
... ②
関数 f(x) はすべてのxについて定義されており,
定数関数 f(x) = -1 は等式① を満たさないから,
x(y+1) ≠0 としてよい。
1
dy
1
y+1dx
x
両辺をxで微分して微分
方程式をつくる。
dx f* f (t)dt = f(x)
リ
Ac
関数 f(x) = -1 のと
(笑)き、①の左辺は x
右辺は
2∫(-1)dt
脚生
(1)
思考プロセス
(1) If
(2)
はっ
血中
[条
条件
x+2
log|y+1| = log|x|+Ci
=x-2(x-1)
=-x+2
これより |y+1| = elog|x|+C1
=
eCielog|x| =
となり, f(x)=-1 は ①
を満たさない。
よって
y=±ex-1
C
ここで,C=±e とおくと y=Cx-1(C≠0)ol
例題
1=C・1-1 より
C = 2
したがって,求める関数 f(x) は
f(x) =2x-1
Point... 微分方程式と初期条件
B4 また, ① に x = 1 を代入すると f(1) =1であるから,
らf(1)=1
ff(t)dt = 0 であるか
t
(2)
t
微分方程式の一般解は, 任意定数を含む 曲線群を表すが、これらの曲線のうち
点(x1, 21) を通るもの、すなわち
x= x1 のとき
y = yı
3)
という条件を満たす特殊解は,いくつかに限定される。 微分方程式に対するこのような
条件を初期条件という。
■ 221 すべての実数xについて
L
チャレンジ
(7)
