294 — 数学A
EX
③58
△ABCにおいて,外心Oの,辺BC, CA, AB に関する対称点をそれ
ぞれP,Q,R とするとき, 0はPQR の垂心であることを証明せよ。
A
B
P
HINT] 平行四辺形の性質をうまく利用する。 例えば、 「向かい合う2辺は平行で,その長さが等しい」
線分AB と 線分RO は互いに他
を2等分しているから, 四角形
ARBO は平行四辺形である。
よって
RB/AO, RB=AO......①
線分AC と 線分 QO は互いに他
を2等分しているから, 四角形
AOCQは平行四辺形である。
よって
AO/QC, AO=QC ......
・②
① ② から
RB//QC, RB=QC
R
B
P
したがって, 四角形 RBCQ は平行四辺形である。
ゆえに RQ // BC
RQ//BC, OP ⊥BC から OPRQ
A
8
C
四角形の2本の対角線
がそれぞれの中点で交わ
るとき、その四角形は平
行四辺形である。
Tinf. AABC t
∠A=90°の直角三角形
の場合, △ABCの外心
Oと点Pは一致し
PR⊥PQ となる。この
とき, 点P(点0) は
△PQR の垂心である。
HA
HA
R
同様にして
OQ⊥PR, OR⊥QP
0.
よって, 0はPQR の垂心である。
B
C
A
P
