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基本 例題 59 高次式の値
|x=1+√2iのとき, 次の式の値を求めよ。
指針
P(x)=x4-4x3+2x2+6x-7
外(x川左肥を
・基本8
x=1+√2iをそのまま代入すると,計算が大変であるから,次の手順①,②で考える。
① 根号と虚数単位をなくす。
x=1+√2iから
x-1=√2i
この両辺を2乗すると (x-1)=-2
←
② 求める式の次数を下げる。
(x-1)=-2を整理すると
x²-2x+3=0
-右辺は根号とiを含むものだけに。
- 根号とiが消える。
2
欠数を下
1
P(x) すなわち x4-4x3+2x2+6x-7をx²-2x+3で割ったときの
商Q(x), 余り R (x) を求めると,次の等式 (恒等式) が導かれる。
P(x)=(x²-2x+3)Q(x)+R(x)
Lx=1+√2iのとき = 0 11次以下
よって、P(1+√2i)=0Q(1+√2i)+R(1+√2i)となり,計算が簡単になる。
CHART 高次式の値 次数を下げる
x=1+√2iから x-1=√2i
答 両辺を2乗して
(x-1)=-2
整理すると
x²-2x+3=0
*****.
①
x=1+√2iは①の解。
P(x) をx2-2x+3で割ると, 右のようになり
商x2-2x-5, 余り 2x+8
(x) (S)
1 -2 <-5
1 -23)1
-4
1
-2
523
6
9
-7
である。 よって
-2 -1
P(x)=(x²-2x+3)(x²-2x-5)+2x +8
4
-6
x=1+√2iのとき,①から
検討参照。
-5
12
-5
P(1+√2i) = 0+2(1+√2i) +8=10+2√2 i
66202
-7
10-15
8
別解 ①まで同じ。 ①から
x2=2x-3
よってx=x2x=(2x-3)x=2x2-3x=2(2x-3)-3x=x-6
x=x3.x=(x-6)x=x2-6x=(2x-3)-6x=-4x-3
ゆえにP(x)=(-4x-3)-4(x-6)+2(2x-3)+6x-7=2x+8
よって P(1+√2i)=2(1+√2i) +810+2√2i
xxxの
1次式に
恒等式は複素数でも成り立つ
複素数の和差積・商もまた複素数であり, 実数と同じように,交換法則・結合法則・分
配法則が成り立つ。 よって, 恒等式に複素数を代入してもよい。
