107 図形と最大最小
h,
微分積分
半径1の球面に内接する円柱について考える.このような円柱の高さを
(1)んで表せ
底面の円の半径を、体積をV とする.
(2) Vの最大値を求めよ.
が成り立つ、したがって,
r =
解答
(1) 図の三角形OAB に三平方の定理を用いると
+(1/2)=1より、ニゲ 4-h
(長崎大)
4
4
√√4-h²
O
2
(2)(1)の結果を用いると,
V = r²h=π-
4-h²
4
h=(4-h²) h
2
B
ここで,f(n)=(4-1)n=(4h-h) とすると,
f'(h)=(4-3h²)=√3h+2)(√3h-2)
条件より, 0くん<2であり, この範囲における増
減表は右のようになる。
球面の半径が1 (直径2)
であるから,0くん<2であ
ることにも注意して考える
2
h
0 ...
2
3
2
以上より,Vはん=-
で最大になり,最大値は,
[f'(h)
+
0
√3
九
2
4√3
f(h)
> 最大
4-
=
-π
√3 9
解説講義
f(h)=(4-h²)hh= を代入した
2
√3
2次関数の最大最小問題では「頂点」と「定義域の端の値」に注目した.3次関数の最大
最小問題では「極値」と「定義域の端の値」に注目してみるとよい。ただし,2次関数のと
きと同じように、定義域をきちんと確認しないといけない. 本間では,円柱が半径1の球面
に内接しているので,高さんは0くん<2である.
このような定義域(範囲の制限)のある関数の増減表を書くときは、定義域の左端と右端
が入る欄を用意して書くことが一般的である.また,増減表の3行目の矢印からんの
ときにf (h)が最大になることが読み取れるので, グラフを描く必要はない.
文系
数学の必勝ポイント
3次関数の最大最小問題
√3
「極値」と「定義域の端の値」に注目する
