基本例題 37 複素数平面上の直線の方程式
点P(z)が異なる2点A(α), B(B) を通る直線上にあるとき,
(B-α)z-(B-α)z=aB-aß が成り立つことを示せ。
(2)P(z) が、 原点Oを中心とする半径rの円周上の点A(α) における接線上
にあるとき, az+αz=2r2が成り立つことを示せ。
指針 (1)3点A(α), B(β),P(z) が一直線上にある
⇔arg
2-α
B-a
21a
-=0, π ⇒
が実数
B-a
! ゆえに
ここで
が実数⇔
を適用。
(2) OALAP であるか, 点Pは点Aと一致する
ここで
よって
arg²=d=1
-
z-a が純虚数 または 0
0-a
解答
(1) 3点α, β, zは一直線上にあるから,
π または z=a
2
Z-α
・β-a
が純虚数 または 0⇔
2-α
B-a
両辺に(β-α) (B-α) を掛けて
すなわち
2-α
(8-) B-a
Dit
(B-a)(z-a)=(B-a)(z-a)
(B-a)z-(B-a)z=aß-aß
L
FA
+= 0 を適用。
(*)
は実数である。
a
a
B-a B-a
-
Il + 2 te
-a
00000
(1)
A(a)
P(z)
基本34
P(z)
YA
10
A(a)
r
B(B)
分母を払う。
18
注意 B-α=β-α,
αB-αβ は純虚数また
