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基本例題 29 絶対値と不等式
次の不等式を証明せよ。
(1)|a+b|≦|a|+|6|
指針 (1) 例題 28と同様に,(差の式) ≧0は示しにくい｡
解答
|A=A2 を利用すると, 絶対値の処理が容易になる。 そこで
A≧0, B≧0の
A≥B⇒A²≥B² ⇒ A²-B²≥0 .........
の方針で進める。また,絶対値の性質 (次ページの①~⑦) を利用して証明しても
(2),(3)(1) と似た形である。そこで,(1) の結果を利用することを考えるとよい。
CHART 似た問題 ①1 結果を利用
2 方法をまねる
(2) lal-lbl≤la+b\
口 (1)(|a|+|6|)²-|a+b=a²+2|a||6|+62-(a²+2a6+6²)
=2(|ab|-ab)≧0
よって
la+b≧(|a|+|6|)²
la+b≧0,|a|+|6|≧0 から
|a+6|≦|a|+|6|
[別解] 一般に,一|α|≦a≦|al, -|6|≦b≦|b| が成り立つ。
この不等式の辺々を加えて
h−(|a|+|b|)≤a+b≤|a|+|b|
したがって
|a+6|≦|a|+|6|
(2) (1) の不等式でαの代わりに a +6, 6 の代わりに -b と
おくと
(a+b)+(-6)|≦|a+b|+|-6|
よって |a|≦|a+6|+|6|
別解 [1] |a|-|6| <0のとき
a+b≧0であるから,|a|-|6|<|a+6は成り立つ。
[2] |a|-|6|≧0のとき
(3) |a+b+cl≦|a|+|6|+
基本28
90snis 注意
|a+b_(|a|-|6|)"=a²+2ab+b²-(a²-2|a||6|+b2)
=2(ab+lab)≧0
よって
(|a|-|6|)≦la+b
|a|-|6|≧0,|a+b≧0であるから
[1],[2] から
|a|-|6|≦|a+6|
よって
ゆえに|a|-|6|≧|a+b1
練習 (1) 不等式
(3)(1) の不等式でbの代わりに 6+c とおくと
la+(b+c)|≦|a|+|b+cl
|a+b+cl≦|a|+|6|+|c|
².1 13
≦|a|+|6|+|cl
|a|-|6|≦|a+6|
◄|A|²=A²
|ab|=|a||6|
この確認を忘れずに。
|A|≧A, |A|≧-Aか
|-|A|≦a≦|A|
- B≦A≦B
⇔ [A]≦B
重要 30
mm+
ズーム UP 参照。
DOCU
◄|a|-|b|<0≤|a+b\
[2] の場合は,(2) 左
右辺は0以上であるから
(右辺(左辺) 0 を
す方針が使える。
= (1+0)!
(1) の結果を利用。
<(1) の結果をもう1回利用
(|b+cl≦|6|+|c|}
