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定数とする。2次関数 y= x°+(2a+2)x+2α°+6a-4…① について考える。
t
V
関数ののグラフとy軸との共有点Pのy座標をかとする。pは a=
|エオカ
「アイ
る。
のとき最小値
をとる。
|ウ
ケ」,α°+[コaー| サ)を頂点とする放物線である。
| キ
の関数ののグラフは,点Q( ク a
問数ののグラフが×軸と異なる2点A, Bで交わっているとき,定数aの値のとり得る範囲はシス」<a<
2
セ
ある。
このとき,AB= 2/
ソ
a+ チ]であるから,AB は a=ツテ]のとき最大値 ト をとる。
また。AABQ が正三角形となるとき,ABの中点を Mとすると, MQ=
ナ
AB が成り立つことを利用すると,
「ヌネ|+
力である。
解答
(1) 関数ののグラフと 軸との共有点Pのッ座標かは
1-2
-4
放物線 y= ax" + bx+c とy
軸の共有点のy座標はc であ
3?
カ= 2a°+6a-4= 2(a+
o-
2
る。
3
よって,pはa=-.
17
のとき最小値 -
(2) y=x°+2(a+1)x+2a° +6a-4
pはaの2次関数であるから,
平方完成して最小値を求める。
をとる。
2
2
Dさ
= (x+a+1)°ー(a+1)?+ 2α°+6a-4
= (x+a+1)°+α°+4a-5
頂点の座標を求めるために, 平
方完成する。
01+
よって,関数(Dのグラフは, 点Q(-a-1, a°+ 4a-5) を頂点とす
る下に凸の放物線である。
このグラフがx軸と異なる2点で交わるとき, 頂点Qの 座標は負 xの2次方程式
の値をとるから,α°+4a-5<0 より
ゆえに,aの値のとり得る範囲は
このとき,関数①のグラフと x軸との共有点 A, Bのx座標は, 2次
方程式 x°+2(a+1)x+2α°+6a-4=0 の実数解であるから, 解の
公式により
x=-(a+1)土V(a+1)?- (2α°+ 6a-4)
=-(a+1)±-d-4a+5
Key1
(a+5)(a-1)<0
-5<a<1
+ 2a°+6a-4=0
が異なる2つの実数解をもつ
から,この方程式の判別式を D
とし, D>0 からaの値の範
Key 2
A3:( )
囲を求めてもよい。
よって
AB ={-(a+1)+--4a+5}-{-(a+1)--d-4a+5}
= 2/-a-4a+5= 2- (a+2)°+9
したがって, ABは a=-2 のとき,最大値 2/9 =6をとる。
3CA
M
B
x
また,△ABQが正三角形のとき, MQ =
3
AB が成り立つから
2
Q
3
-(°+ 4a-5) =
×2--4a+5
A=-d'-4a+5 とおくと
2
Qのy座標a+4a-5は負の
A= \3A
値であるから
両辺を2乗して
13
MQ= -(a°+4a-5) である。
A° = 3A
-5<a<1 の範囲で A>0 であるから
--4a+5= 3 を解いて
これらはともに-5<a<1を満たすから
A=3
a=-2± 6
a= -2±/6
のカギ)
グラフとx軸の共有点の個数は, 判別式 D または頂点の y座標の正負を調べよ >o6 (p.17)
グラフとr軸の#有点の
te
2次関数
