すると
活用
で
√2が無理数である理由
が無理数であることは,どのように証明できるでしょうか。
にまつわる有名な話も紹介します。
P
FACT B
●2が無理数であることは2000年以上前には知られていました。 古代ギリシャの時代に√2にまつわ
る有名な話があります。 当時、ピタゴラス学派とよばれる, 数学や哲学などの研究を重んじた集団があ
りました。 その集団の創設者であるピタゴラスは, 「万物は数から成る。 どんなものも自然数の比(有理数)
で表すことができる｣という考えを持っていました。
ばんぶつ
x!
しかし、ピタゴラスの弟子のヒッパソスは,√2が無理数 (有理数ではない数) であることを発見しました。
ピタゴラス学派は、ピタゴラスの考えに反するその事実をかくすため, ヒッパソスを海に投げ捨ててし
まったそうです。
●ヒッパソスがどのように√2が無理数であることを示したかはわかってはいません。 ただ,整数の性質
を使うことで,次のように証明することができます。
√2が無理数であることを次のように証明するとき, | にあてはまる数やことばを書き入
れましょう。
√2が有理数であるとすると,√2=mと表すことができる整数mとnがあることになる。
(√2)² = (m) ² m²
2=
n²
m
は約分されていて、 もうこれ以上約分できないものとする。 この等式の両辺を2乗すると,
n
2n² m² ...
①で,nは整数だから, 2n²は2の倍数である。よって,m²も2の倍数である。
ここで,mが奇数のときも奇数であり、mが偶数のとき²も 偶数であ
るから,mは2の倍数であることがわかる。
よって,αを整数とすると, m=2gと表すことができる。これを①に代入すると
2n²=(2a)2 2n²=4a2 n²=2a²... ②
②から,同様に,nは2の倍数であることがわかる。
m
2で約
よって、もも 2の倍数となり, はこれ以上約分できないはずなのに
n
分できてしまう。そのような数はないので,√2は有理数ではない。 つまり、無理数である。
2章
平方根
F
