286 第7章 数列
応用問題 1
次の数列の和を求めよ. ×
S=1・3+3・9+5・27+......+ (2n-1)・3"
精講各項は2つの数がかけ算されていますが,左側の数は
1,3,5, と等差数列をなし, 右側の数は3, 32, 3, と等
比数列をなしています.つまり, これは 「(等差数列)x (等比数列)」の形をし
た数列の和です .
この数列自体は,等差数列でも等比数列でもないので,公式を適用すること
はできませんが,等比数列の公式を導くときに使った「ずらして引く」の考え
方は有効です.それにより,等比数列の和に帰着させることができます。
こて
って
1511
の和
のよ
次の
S-3S を計算する.
解答
S = 1·3 + 3・32 + 5.33 +
......
+ (2n-1)3"
そ
x3
×3
した
3S =
132 + 3・3° +
-2S
1.32.32 + 2.33 +......
2.37
+ (2n-3)・3" + (2n-1)・3m+1
+
を用
-
(2n-1).3+
初項 2・32=18, 公比3.項数n-1の等比数列の和
18 (3-1-1)
=3+
-(2n-1).3n+1
3-1
=3+9(3-1-1)-(2n-1).3n+1
=3+3+1-9-(2n-1)3"+19.3"-1=32.3"-1=3n+1)
=-6-(2η-2)•3n+1
よって, S=3+(n-1)3"+1
コメント
両辺を2で割る
数列の和を求めた後, 計算の結果に自信がない場合は, Sに n=1,2,3
などを代入した値
3+0.3'=3,3+1・3°=30, 3+2・3=165
が,もとの数列の初項 第2項 第3項までの和
1・3=3, 1・3+3・9=30, 1・3+3・9+5・27=165
と一致することを確かめておくとよいでしょう. 数列の和の計算において、
とんどの計算ミスは,この方法で検出することができます.
J
し算
を表
2
みま
が
