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例題 B1.25 (等差数列)×(等比数列の和
TROVA
次の和を求めよ.
S=1・1+2・3+3・3' + 4・' +......+n." - ｢(同志社大改)
10 July
S = 1 ·1+ 2 3+ 3 3° + 4 3 +..... + n ・3" - 1
考え方 各項の前の部分に着目すると,
解答
1, 2, 3, 4, OS DO
さらに,各項の後の部分に着目すると,
S=1･1 +2･3 + 3・3 + 4・3°+....‥+n3"~】
①② より
Focus
-10) I+
よって,
7-1
1,33, 3.......... 等比数列 (初項1,公比 3 )
となる.
JENSE BUUROOR H
つまり,一般項a, は, am=n3"'= (等差数列)×(等比数列)となる。
この形の数列の和は,公比r(ここでは3) を利用して, S-S を計算するとよい。
an
からま
S=1·1+2·3+3·3³+4·3³¹+ ··· + n.3¹
両辺に3を掛けると,
両辺に公比の3を掛
ける.
3S= 1・3+2・3°+3・3°+..+(n-1) 3"'+n・3"
11の和
1.(3-1)
3-1
n.3"= ・3"-
2
-2S=1・1+(2−1)・3+ (3-2)・32+(4-3)・3°+.･.･.
1.6
SOL ......+{n-(n-1)}・3"'-n・3"
=1･1+1・3+1・3°+1・3°+...... +1.3"--n・3"
=1+3+3+3°+…..... +3"'-n・3"
1
大変だが
- n.3"
2+1;
等差数列 (初項1,公差1)
2
****
3"
S= 1 + 1/2-3²= 3³ (2n-1) + 1 M)
=·3"+=+₁
-n.
4
4
47
an = (等差数列)×(等比数列) の形をした数列の和 S
> S-rs を利用
・・
(8)
各項の前の部分が1
になるように差をと
り、各項の後の部分
に着目して考える。
は初項1,公比
3の等比数列の初項
から第n項までの和.
ただし,
の第1
項目が等比数列の初
項にならない場合も
ある.
(2)
sl
10+A) & KI+A)}
TOM
