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224 第6章積分法
122 回転体でない体積(I)
XC
底面が半径①の円で高さ 1の円柱がある.この円柱を底面の円の直径
AB を含み, 底面と45°の角度をなす平面で切ると, 大, 小2つの立体に
分かれる。このとき小さい方の立体の体積を求めよ
今回は回転体でない立体の体積ですが,基本的には回転体の体積と
1 において
同じ考え方です. たとえば, 116 の
V₁=1
=xf (f(x)}dx という式がかいてありますが、π(f(z))とは、
半径f(z) | の円の面積のことです. すなわち, 立体図形を回転軸に垂直な平
精講
面で切ったときの断面積です.
だから, 軽いタッチでいえば,
体積は (断面積) dx で表せる
わけです。この考え方を使って体積を求めますが,立体をどこで切るかを判断
するとき,断面積が求められるような切り方をしないといけません。
A.
<図1>
0
45°
1
B
解答
<図II>
O
B
DC
y
(II) ²
1-t²
底面の円の中心を原点Oとし, AB方向に軸を定める.
すなわち, A(-1, 0), B(1, 0) とする.
次に、小さい立体の底面の半円の弧がy≧0の領域にあるように軸
をとる. 〈図ⅡI>
このとき, (t, 0) (-1≦t≦1)を通り, x軸に垂直な平面で切ると,
その断面は, 〈図Ⅲ〉のような直角二等辺三
その面積をSとすると, S=12 (1-1)
v-fsdt=20-dt-fa-a
V=
=1-
注 基準軸のとり方は1通りとは限りません. ちなみに、この立体の
自場合,軸の方を基準軸にしても体積は求められます。(別解
(図IV>
(別解) 点 (0, t) (0≦t≦1) を通り、軸に垂
直な平面で切ると断面は〈図Ⅳ>のような長方
形で,その面積は2tv1ーゼ
:. V=S2t√/1-P² dt
ポイント
だから,
演習問題 122
=-fa-ty√1-² dt
=- [ ²3 (¹1-1²) ²1' = ²/3
225
ハード
回転体でない体積の求め方は
I. 基準軸をとって
Ⅱ. 基準軸に垂直な平面で切ってできる断面の面積
を求めて
III.ⅡIの断面積を積分する
xy平面上に円C:x2+y^2=1 がある.軸上の点T (t, 0)
(-1≦t≦1) を通り,x軸に垂直な円Cの弦を PQ とする. このと
き、PQを1とする正三角形 PQR を ry平面に垂直になるよう
につくる. 次の問いに答えよ.
19
(1) △PQR の面積Sをtで表せ.
(2) tが1から1まで動くとき, PQR がつくる立体の体積V
第6章
