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JUL
510
OS
00000
基本例題1291次不定方程式の応用問題
3で割ると余り, 5 で割ると3余り, 7で割ると4余るような自然数nで最小の
ものを求めよ。
指針▷
基本 127,128
が共通の数。
8が最小である。
3で割ると2余る自然数は 2,5, 8, 11, 14, 17, 20, 23,
5 で割ると3余る自然数は 3, 8, 13, 18,23,
よって、「3で割ると2余り, 5 で割ると3余る自然数」を小さい順に書き上げると
3と5の最小公倍数 15 ずつ大きくなる。
A8, 23, 38, 53, 68,
また, 7で割ると4余る自然数は B 4, 11, 18, 25, 32, 39,46,53,
A,B から、求める最小の自然数は53 であることがわかる。
このように、書き上げによって考える方法もあるが,条件を満たす数が簡単に見つからな
い (相当多くの数の書き上げが必要な) 場合は非効率的である。
-110/
そこで,問題の条件を1次不定方程式に帰着させ、その解を求める方針で解いてみよう。
CTORUTSJEFE
解答
nはx,y,zを整数として,次のように表される。 注意x+2=5y+3
3)=0 S&TS
5y+3=7z+4
n=3x+2, n=5y+3, n=7z+4
小
3x+2=5y+3 から 3x-5y=1
x=2, y=1は, ① の整数解の1つであるから
3(x-2)-5(y-1) = 0 すなわち 3(x-2)=5(y-1)x
3と5は互いに素であるからんを整数として, x-2=5kと表
される。よって x=5k+2(kは整数)
②
bom)
3(5k+2)+2=7z+4
② を 3x+2=7z+4に代入して
ゆえに
z=-8, k=-4 は、 ③の整数解の1つであるから
7(z+8)-15(k+4)=0 すなわち 7(z+8)=15(+4)
7と15 は互いに素であるから, lを整数として,z+8=157 と
表される。 よって z=151-8 (Zは整数)
(Thom)
これをn=7z+4に代入して n=7(157-8)+4=1057-528
最小となる自然数nは, l=1 を代入して
53 TE bom) 85-=
として解いてもよいが,係
数が小さい方が処理しやす
い。
このときy=3k+1
x-7z=2から
7z-15k=4...... ③③ A+ASA-=(A+10)-06-3(x-3)−7(z−1)=0
ゆえに, Zを整数として
x=7l+3
これと x=5k+2 を等置し
て 5k+2=7l+3
よって5k-71=1
これより, k, lが求められ
るが, 方程式を解く手間が
1つ増える｡
検討 百五減算
2+(3=376)00=1+00=178
ある人の年齢を3,5,7でそれぞれ割ったときの余りをa,b,c とし, n= 70α+216+15c とす
る。このnの値から 105 を繰り返し引き, 105より小さい数が得られたら、その数がその人の年
齢である。 これは 3,5, 7で割った余りからもとの数を求める和算の1つで、 百五減算と呼ばれ
る。なお,この計算のようすは合同式を用いると,次のように示される。
求める数をxとすると, x=a (mod3), x=6 (mod5) x=c (mod7) であり,
n=70a=1•a=a=x (mod 3), n=21b = 1.b = b = x (mod 5), n=15c=1+c=c=x (mod 7)
よって, n-xは3でも5でも7でも割り切れるから, 3, 5, 7 の最小公倍数 105 で割り切れる。
ゆえに,を整数として, n-x=105k から x=n-105k
このkが105を引く回数である。
TRON
練習
3で割ると2余り,5で割ると1余り, 11で割ると5余る自然数nのうち
(3) 129 1000 を超えない最大のものを求めよ。
どのよう
できない
3m
よー
解答
mnは食
[1] n=
よって,
x=3m-
[2] n=
ここで.
よって
......)
[3] n=
ここで
よって
......)
[1]~[3]
形に表す
よって,
したが一
(検討
次ペー
しかし
然数も
なお、
a
