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No.
300
基本 例題 191 文字係数の関数の最大・最小
145000000
a>0 とする。
関数 f(x)=x-3ax2+5a の 0≦x≦3 における最小値を求めよ。ただし、
[ 類 関西大 ] ●基本 186,190
f(
最
CHART & THINKING
$30 025 [s]
最大・最小 グラフ利用 極値と端の値に注目
CH
最小値の候補となる極小値をとるxの値(x=24) がαの値によって変わるから場合分けを
する。 場合分けの境目はどのように考えればよいだろうか?
→極値をとるxの値(x=2α) 区間 0≦x≦3 に含まれるかどうかが境目となる。
解答
f'(x)=3x2-6ax=3x(x-2a)
(5)
最
aの
場合
y=
age
f'(x) =0 とすると
x=0,2a
a>0 であるから
2a>0
f(x) の増減表は次のようになる。
x
f'(x) + 20
0
2a
0
+
f(x)>
極大
極小
5a³
q3
→
[1] 0<2a≦3 すなわち 0<a≦-
3
のとき
(za)
=(2a)-3a(2a)2+5a3
=8a3-12a3+5a³
=q3
[1] 極小値をとるxの値
f'
f'
増
[1]
が区間に含まれる場合
[1] 0
[2]
y=f(x) のグラフは右図 [1] のようになる。
よって, 0≦x≦3 において, f(x) は x=2a
最小値 f (2a) =α
をとる。
[2] 3 <2α すなわち 3
<α のとき
⇒グラフをおおよそ
でいいから
で書いてあげるの
が大事
5a3
a
最小
整
2
y=f(x) のグラフは右図 [2] のようになる。
よって, 0≦x≦3 において, f(x) は x=3で
2a 3 x
よ
[2] 極小値をとるxの値
[3]
最小値 f (3) =5α-27a +27
をとる。
[1], [2] から
が区間に含まれない場合
[2] y
[4]
[1]
3
介
5a3-27a+27
0<a≦22 のとき x=2αで最小値 α',
1503
3-2
をとる。
<a のとき x=3 で最小値 5α-27a +27
最小
3 2a
a
in
PRACTICE 1913
3
oer
49
xの関数f(x)=-x+ax²-a0≦x≦1 における最大値をg (a) とおく。(c)
をαを用いて表せ。
PH
