重要 例
放物線y=x+αと円 x+y=9 について、次のものを求めよ。」
(1)この放物線と円が接するとき、 定数αの値
円の
(2)異なる4個の交点をもつような定数αの値の範囲
接点 重解
指針 放物線と円の共有点についても、これまで学習した方針
共有点実数解
で考えればよい。
この問題では,x を消去して, yの2次方程式 (y-a)+y2=9の
実数解 重解を考える。 放物線の頂点はy軸上にあることにも
注意。
(1)放物線と円が接するとは,円と放物線が共通の接線をも
一つことである。 この問題では, 右の図のように, 2点で接する
場合と1点で接する場合がある。
(2) 放物線を上下に動かし, (1) の結果も利用して条件を満たす
αの値の範囲を見極める。
(1) y=x2+α から
(y-a)+y2=9
000
1点で
<接する
2点で接する
また、
ま
y=
定ま
定1
(1)
(2)
xを消去すると、
次方程式が導かれる。
x2=9-y2≧0でゆえに -3≦y≦3...... ②
[2]
a=-30+
x2=y-a
解答
これをx2+y2=9に代入して
よって
y2+y-a-9=0
①
ここで,x2+y2=9から
[1] 放物線と円が2点
で接する場合
37
[1] a=-
4
YA
YA
2次方程式 ①②の
範囲にある重解をもつ。
よって、 ①の判別式を
Dとすると D=0
3
3
-3
13
O
3-
0
-3
/3
3
37
a=3
D=12-4.1 (-a-9)
=4a+37
37
であるから
4a+37=0 すなわち α-
4
1
このとき、①の解は y = 2
==
となり,②を満たす。
[2] 放物線と円が1点で接する場合
図から,点 (0, 3), (0, -3) で接する場合で α=±3
37
以上から、 求めるαの値は
a=-
±3
(2) 放物線と円が4個の共有点をもつのは、右の図から、
2次方程式
by2+qy+r=0の
重解は y=-1
2p
頂点のy座標に注目。
[参考
ゆえ
のグ
g(y)
(1)
榎
D
放物線の頂点 (0, a)が,点 (0,-27) から点 (0-3)!
37
(2)
3
-3
を結ぶ線分上(端点を除く)にあるときである。
37
したがって
-
<a<-3
練習
[③] 10[4]
