(1) an+2- Qan+1=8(an+1-aam)をみたす2数 a, Bを求めよ。
2次方程式 =pt+q の解を α, Bとして, 次の2つの場合があり
a=2, a2=4, an+2=ーan+1+2an (n>1) で表される数外 (a)
基礎問
128 3項間の漸化式
でみれのや
がある。
(2) an を求めよ。
an+2= pan+i+qa, の型の漸化式の解き方は
精講
ます。
(1) αキB のとき
an+2=(a+B)an+1-eBan より
an+2-Can+1=B(an+1-Can)
an+2- Ban+1=α(an+1-Ban)
のより,数列{an+1-Can} は, 初項 a2-aa., 公比Bの等比数列を表すので,
-2
an+1- Can=B"ー!(a2-aa.) …..①
同様に,②より, an+1- Ban=α"-(a2-1Ba,)
-2 より,
(8-a)a,=B"-(a2-aa.)-α"-'(az- Ba.)
B"-1(a2-aa)-α"-'(az- Ba.)
B-a
an=ー
注実際には α=1 (または B=1) の場合の出題が多く, その場合は階差数
列の性質を利用します。 (本間がそうです)
(I) α=B のとき
Ok an+2- Can+1=α(an+1-aan)
つまり,数列{an+1- Can} は, 初項 a2- aa,, 公比αの等比数列。
. an+1- can=α"-'(az-aa,)
3の両辺を α"+1 でわって,
an+1
an
a2
Qn+1
am
n22 のとき, 宮-)-M
、(+1
k+
n-1
a2-Qa1
k=1
k=1
よって,--(n-1)-ー して。
: a,=(n-1)α"-2a2-(n-2)α"-'a,
