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数学 高校生

この問題の2枚目の式の解き方が分かりません!誰か解説してくださるとありがたいです、よろしくお願いいたします🙇

-88 (106) 第1章 数列 例題 B1.52n=k-1, k を仮定する数学的帰納法 **** x=t+1 とし,P,=1+ t" 1 とおく (n=1,2,・・・・・). このとき, P は x 考え方 解答 t 次の多項式で表されることを示せ. 自然数nに関する証明については, 数学的帰納法を用いる. まずはオーソドックスに 考えてみよう. (証明) (1) n=1 のとき,P,=t+1=x より成り立つ. (I)n=k のとき,Px=+==(xk次の多項式)と仮定すると, 1 n=k+1 のとき, Pato=t+1+- (+)-(++) (+)- =xPk-Pk-1 ここで,Px=(xk次の多項式) と仮定しているから,xPはxの(k+1)次の多項式で ある.しかし,P-」については,何次式なのか、xの多項式なのかもわからないつまり、 P& だけではなく、Pa」の次数についても仮定が必要になる.また,(II)で, n=k-1 とすると, n=1, 2,......であるから,k-1≧1 より k≧2 でなければならない。 wwwwwwwwwwwwww m (I) n=1 のとき,P,=t+==xより成り立つ. n=2のとき,P2=f+ 2=x2 より題意は成り立つ. (II)n=k-1,k(k≧2) について, 題意が成り立つと仮定する. IPkxの次の多項式 「Pk-1 は xの(k-1) 次の多項式 すなわち, で表されると仮定すると, Pati=tk+1+- tk-1. tk-1 =xPk-Pk-1 ここで, xPk は x×(xk次の多項式)より, xの (k+1) 次の多項式となり,P-1 は xの(k-1)| 次の多項式であるから, Pk+1 は xの (k+1) 次の 多項式となる. Ph-1 は xの (k-1) 次の多 式より, Pk+1 よって, n=k+1 のときも題意は成り立つ. (I) (II)より, すべての自然数nについて題意は成り =(x (k+1) 次の多項式 (x (k-1)次の多項 立つ 注》(I)でPがxの1次の多項式であることだけを示し, (II)の一般的な方法で, P2が 2次の多項式であることを示そうとすると, Po, P, が必要となり困る. (Poは定 れていない.)よって, (I)でP2 も調べておく必要がある. なお、下の練習 B1.52は, フィボナッチ数列の一般項に関する問題である. (p.B1-74 52 自然数とするとき.4.1/5(1+2)-1/5(25) は整数である

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数学 高校生

次の問題で青線までは分かったのですがそこからどの様にして図示するかがよく分からないのですがどなたか解説お願いします🙇‍♂️

点P(a, b) から曲線 C:y=x-3x に接線が3本引けるとき,P(a, b) の 存在範囲を図示せよ。 点P (α, b) の存在範囲 思考プロセス a -α ともの関係式を導き、 b>g(a) 横軸を α,縦軸を6とする座標平面に領域を図示する。 既知の問題に帰着 αとの関係式を導く考え方は例題 230 と同様である。 b=g(a) 《ReAction 接線の本数は, 接点の個数を調べよ 例題 230) 解 C上の点をT (t, ピー 3t) とおく。 Jay' = 3x2-3 より, 点Tにおける接線の方程式は 209 y-(t-3t)=(3t-3)(x-t) これが点P(a, b) を通るから b-(3-3)=(3t² - 3)(a− t) すなわち 2t3-3at2 +3a+b=0 …① 950 3次関数のグラフの接線は, 1本の接線に対して接点は必 230 ず1点に定まるから, 接線が3本となるための条件はもの 方程式 ①が異なる3つの実数解をもつことである。 f(t) = 2t3-3at°+3a + b とおくと f'(t) = 6t-6at=6t(t-a) f'(t) = 0 とおくと t = 0, a x = 0, y = b を代入する。 よって, 求める条件は a = 0 かつ f(0)f(a) <0 ① f3a+b>0 ① より, (a+b) (-d+3a+b) <0 l-a°+3a+6 < 0 f(t) は極大値と極小値を もつから、f'(t) = 0 は 異なる2つの実数解をも つ。 J3a +6 < 0 よって α≠0 または 1-a+3a+b>0 すなわち ∫b>-3a \b<a³-3a fb <-3a または \b> a³-3a このときαキリであるから, 64 b=a3-3a 曲線 b = 03-3αは 点P(a, b) の存在範囲は右の図の斜 2 線部分。 ただし、 境界線は含まない。 -2- α = -1 で極大値 2 a=1で極小値 2 直線 63α は曲線 b = -3a に原点0で 接している。 b=-3a

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