重要 例題265 面積の2等分
曲線 y=cosx
(x)とx軸で囲まれる図形をEとする。曲線上の点
形の面積が等しくなるとき, costの値を求めよ。
(t, cost) を通る傾きが1の直線 l で E を分割する。こうして得られた2つの図
[電通大〕
基本256
指針図形Eのうち直線ℓより上の部分の面積を S1, 下の部分の面積を 2 とすると,問題の条
件は Sı=S2 である(解答の図参照)。しかし,ここでは計算をらくにするために,図形E
の面積をS(=S+S2) として, 条件 S=S2を, SiS または 2S=S と考えるとよい。
CHART 面積の等分 S=SかS=2S=2S2 計算はらくに
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8章
38
面積
解答
直線 l が図形E を分割するから
一覧
π
<t<
2
2
YA
図形の面積SはS-facosxdx=2500
2f® cosxdx=2
cost
1
y=c0S
直線 l の方程式は
2
ST
S2
y-cost=l(x-t)
O t
すなわち
y=x-t+cost
......
①
12
t-cost
直線 l が図形E を分割するとき, 直線lより上の部分の面積を
S, 下の部分の面積を 2 とする。
直線 l と x 軸の交点のx座標は,① で y=0 とすると,
x=t-cost であるから
π
S2=1/12t-(t-cost)}cost+S cosxdx
2
<2S2 = S として考える。
2S=S とするときは,
求める条件は 2S2=S
ゆえに
$100+1
=1/2/cost+[sinx -/1/cos't+1-sint
cos2t+2-2sint=2
Si=S_cosxdx
2
01-05-10) (t-(t-cost))cost
を用いる。
すなわち
cos2t=2sint
②の
in't を用いて整理すると
sint+2sint-1=0
