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基本 例題 56 整数の性質の証明
00000
すべての自然数nについて, 42n+1+3+2は13の倍数であることを証明せよ。
指針 このような自然数nに関する命題では,数学的帰納法が有効である。
n=kの仮定→n=k+1の証明の過程においては,
Nが の倍数⇔N=m(m は整数)
を利用して進めることがカギとなる。 すなわち
42k+1+3k+2=13m (m は整数) とおいて
←n=kの仮定
42 (k+1) +1 + 3 (k+1)+2 が 13×(整数) の形に表されることを示す。
←
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-n=k+1の証明
このように、数学的帰納法の問題では, n=k+1の場合に示すべきものをはっきりっ
かんでおく・ ★ことが大切である。
「42+1+3+2は13の倍数である」 を ① とする。
解答 [1] n=1のとき
42・1+1+31+2=64+27=91=13・7
よって,①は成り立つ。
[2] n=kのとき, ①が成り立つと仮定すると
42+1+3k+2=13m (m は整数): ②
これから
42k+1=13m-3k+2
www
解答
とおける
n=k+1のときを考えると, ②から
42(k+1) +1 +3(k+1) +2 42.42k+1+3k+3
=16(13m-3k+2) +3+3
=13・16m-(16-3) ・3k+2
=1316m-3k+2)
16m-3k+2 は整数であるから, 42(k+1)+1+3(k+1) +2 13
の倍数である。
よって, n=k+1のときにも①は成り立つ。
指針
******
大の方針。
仮定 ② が使えるよう
42k+1 の形を作り出すこ
とがカギ。
の断りを忘れずに。
[1], [2] から, すべての自然数nについて①は成り立つ。結論を書くこと。
別解 1. 二項定理を利用
42n+1+3n+2=4.42n+32・3"=4・16"+9・3"=4(13+3)" +93"
=4・13(13"-'+,C,13″-2.3+, C213-332++, C-13"-1)+4.3"+9・3"
=4(13"+nCi13-1.3+ C213-2.32 +......+nCn-113・3"-1 +3") +9.3" ←二項定理
=4・13× (整数) +13.3" =13×(整数)
よって, 42n+1 +3 +2 は13の倍数である。
別解 2. 合同式を利用
163 (mod13) であるから 42=3" (mod13)
この両辺に 3"+2=9.3" を加えると
よって 42n+1=43" (mod13)
ゆえに、42n+1+3+2は13の倍数である。
42n+1+3"+2=4・3"+9.3"=13.3" =0 (mod 13 )
検討
基
「3以上
金
