(3)の解説にある(5、2)のとき、2枚目のように、地点Aに辿り着くと止まることから、不適の場合が4パターン考えられ、以下のような式を立てましたが、不正解でした。 どこを間違えたのでしょうか。

J 8 ランダムウォークー 1 数直線上を点Pが1ステップごとに,+1または1だけそれぞれ の確率で移動する. 数直 2 線上の値が3の点をAとし,PがAにたどり着くと停止する。 (1)Pが原点Oから出発して, ちょうど5ステップでAにたどり着く確率を求めよ. (2)Pが原点Oから出発して, ちょうど6ステップで値が2の点Bにたどり着く確率を求めよ. (3) Pが原点Oから出発して, 8ステップ以上移動する確率を求めよ. (東北大・経後) ランダムウォークは反復試行 この例題のように, 数直線上 (あるいは平面上) を点がでたらめに 動く設定の問題を「ランダムウォークの問題」と呼んでいる。 「Aに着くと停止」 という制約がなければ 反復試行であるから,例えば「5ステップまでに+1が2回, -1が3回で1の点に到達する確率」は sCax(1/2)×(1/2)"となる.(1)(2)は,まず+1の移動が何回あるかを求め,途中で停止する場合を 別に考える. (うさる 奇数ステップ後は奇数の点 奇数ステップ後は値が奇数の点に, 偶数ステップ後は値が偶数の点に それぞれある. 反復試行使える! 解答 仕えないところにする BA (1)最後の移動は +1であり,それ以前の4ステップは+1が3回, -1が1 -2 -1 012-3 回である。この4通りの移動のしかたのうち, 最初から +1が3回続くもの (14=C3 通り)だけが不適なので,求める確率は42dx/12/ 3 1412 (12)(12)732) 1/20 1/2は最後の + 1 (2) 最後の移動は+1であり, それ以前の5ステップは +1が3回 -1が2回 5ステップ後に値が1の点 である. この 5C3通りの移動のしかたのうち, 最初から +1が3回続くもの ( 1 通り)だけが不適なので, 求める確率は ・X 10-11 9 25 264 (3)8ステップ未満でAにたどり着く場合 (余事象) をまず考える. +1がェ 1が回でちょうどAにたどり着くとすると, x-y=3, x+y<8である から (x,y)=(3,0), (4,1) (5,2) 10=5C3 8ステップ以上は大変だから, 余 事象を考える. 1~7日考える?(2) ↓しばら 1 1 (x,y)=(3,0)のときの確率は であり, (41) は (1) で求めた. 23 8 9 (5,2)のときは6ステップ後がBで最後に+1だから確率は 1×1/2 最x-3.9=0, メイクニク (2)の結果が使える。 1 3 9 91 従って, 求める確率は 1- + + 8 32 128 128 3~7日 08 演習題 ( 解答は p.49 ) 原点 0から出発して数直線上を動く点Pがある. 点Pは, 1枚の硬貨を投げて表が出 ると+1だけ移動し, 裏が出ると ー1だけ移動する. (1) 硬貨を10回投げて,このとき点Pが原点0にもどっている確率は[ である. (2)硬貨を10回投げるとき、点Pが少なくとも4回目と10回目に原点Oにいる確率 」である. 3)硬貨を10回投げるとき,点Pがそれまで1度も原点0を通らず, 10回目に初め て原点にもどる確率は [ ]である. (摂南大薬) (1)と(2)は単なる反復 試行 (3) はうまい数え 方もあるが, 原点にもど るのは偶数回後しかない ことに着目して数え上げ ても大した手間ではな い。 41 willier 77777

(1)について①②③の3パターンで解いてみましたが、③だけ間違いでした。どこが間違えていますか？ 補足：(A,B,?(CかDかEという意味))です。

な 05 演習題(解答は p.48 ) 当たりもなれ ある学校では毎日, A, B, C, D, Eの5曲の中から異なる3曲を無作為に選んで昼休 みに放送している, n を自然数とする. (1) 1日に曲 A, B が両方とも放送される確率を求めなさい。 (2)η日間で曲 A, B のいずれも全く放送されない確率を求めなさい o (3) 日間で曲Aが少なくとも1度は放送される確率を求めなさい X/Xn日間でどの曲も少なくとも1度は放送される確率を求めなさい。 印 (山口大理系) (3) 象 も も場

この問題の解説右の、補足説明みたいなところ にある、 11 - Y は2の倍数であるから Y は奇数。 と書いてあると思うのですが、 Y が 奇数になる理由がよく分かりません。教えていただきたいです。

基本 例題 129 1次不定方程式の自然数解 00000 等式 2x+3y=33 を満たす自然数x、yの組は ある それらのうち が2桁で最小である組は (x,y)=()である。 [福岡工大) 基本127 重要 130 CHART & SOLUTION 方程式の自然数解 不等式で範囲を絞り込む 「xyが自然数」すなわちx1,y21(あるいはx>0,y>0)という条件を利用して、最 初からxの値の範囲を絞り込むとよい。 基本例題 127 と同様にして方程式 2x+3y=33 の整数解を求めた後で,x,yが自然 数になるように絞り込んでもよい。 解答 このことわり 4章 2x+3y=33 から 2x=33-3y すなわち x=3(11-y) ① 忘れない 15 2と3は互いに素であるから,xは3の倍数である。 ① において, y≧1 であるから ② 11-y≤10 よって 2x ≤3-10-30 更に, x≧1 であるから 11-vは2の倍数である から、又は奇数この条 件から絞り込んでもよ い。 1≦x 15 ③ ② ③から x=3,6,9,12,15 それぞれのxに対して, ゆえに、等式を満たす自然数x, yの組は 75組 yは自然数になる。 それらのうちxが2桁で最小である組は (x,y)=(123) ユークリッドの互除法と1

（2）の解法について。矢印はゴリ押しですか？ 数学脳があまりにも弱く、この程度のゴリ押しでも思いつきません。この問題の場合、どのように考えると一番スラスラ思いつきますかね？ 日本語おかしくてすみません。

4 基本 例題 12 例題120を含む数字の順列 0 を含む数字の順列 000 012345の6個の数字から異なる4個の数字を取って並べて, 4桁の整 数を作るものとする。 次のものは全部で何個できるか。全性の健 (4) 2400より大きい整数 (1) 整数 (2)3の倍数 の中か (3) 6 の倍数 基本11

三項間漸化式 (2)で解説には1個しか式を書いてないんですけど、左の(I)には式を2個作って連立してるんですけど式は1個でもできるんですか？

1293項間の漸化式 2,=4,an+2=-a1+2an (n≧1) で表される数列{a, がある。 (1) (2) an+2-αan+1=β(an+1-αan) をみたす 2数α, β を求めよ. an を求めよ. 精講 an+2=pan+1+gan の型の漸化式の解き方は 2次方程式 f=pt+q の解をα,βとして,次の2つの場合があり ます。 (I) α≠β のとき an+2= (a+β)an+1-aban より an+2-dan+1=β(an+1-aan) an+2-βax+1=α(an+1-Ban) anをと 2次方程式を解の、とする anをしとして 700 ・① ......② ①より, 数列{an+1-Qan}は,初項 a2-way, 公比βの等比数列を表すので、 an+1-dan=βn-1 (azaar) ...... ①' 同様に,②より, an+1-Ban=α"-1 (α-βas) ...... ②' (β-α)an=β"-1 (a2-aa1)-α"-1 (az-Bar) (1) an+2=(a+β)an+1-aBan 解 答 与えられた漸化式と係数を比較して、 α+β=-1, aβ=-2 .. (a, B)=(1, 2), (-2, 1) (2) (α,β)=(1, 2) として an+2-an+1=-2(an+1-an) an+1-an=bn とおくと bn+1=-26 また, b=a2-a=2 n≧2 のとき, n-1 an=a1+2(-2)-1 =2+2・ k=1 :.bn=2(-2)^-1 1-(-2) ----(4-(-2)^-') 1-(-2) これは, n=1のときも含む. (別解) (α,β)(2,1)として an+2+2an+1=an+1 +2an [123] an+1+2an=a2+2a1 よって, an+1=-2an+8 2 ---2(a-3). α-3--3 a [124] 199 ①-②' より, 8 : an+1 β”-1 (a2-aa)-α"-1 (a2-Bas) ... an= したがって, an-0323-172(-2)*- 8 an= (4-(-2)-1) B-a 出 注 実際には α=1(またはβ=1) の場合の出題が多く, その場合は階差数 列の性質を利用します。 (本間がそうです) ポイント (II) α = β のとき an+2-Qan+1=α(an+1-aan) : an+1-aan=α"-1 (az-dai) ......③ an+2=pan+1+gan 型は, 2次方程式f=pt+g の 解α,βを利用して、 等比数列に変形し2項間の漸 式にもちこむ An+1 an+1 つまり、数列{an+1-αan} は, 初項 α2da, 公比αの等比数列. ③の両辺をα+1でわって an a2-aa1 an a² n-1 n≧2 のとき,k+1 ak a2day k+1 k=1\a" k=1 an よって, an a=(n-1).az-aa 演習問題 129 a=1, a2=2, an+2=3a+1-24 で表される数列{an}があ 7月) をみたす2 数 α, βを求めよ

(2)の解説の3行目からがわかりません。多分2枚目の写真の知識を使うのですがこの説明も理解できないです。

26 剰余の定理 (III) (I) Mes -2a-2b+26=6 -2a-b+26=14 (1) 整式 P(z) をπ-1,-2,エー3でわったときの余りが、そ れぞれ 6,1426 であるとき,P(z) を (x-1)(x-2)(x-3) で わったときの余りを求めよ. (2) 整式P(z) を (x-1)でわると、2x-1余り,r-2 でわると 5余るとき,P(x) を (x-1)(x-2)でわった余りを求めよ. 講 (1) 25 で考えたように,余りはax2+bx+c とおけます. あとは, a,b,c に関する連立方程式を作れば終わりです. しかし, 3文字の連立方程式は解くのがそれなりにたいへんです. こで,25 の考え方を利用すると負担が軽くなります。 余りをax2+bx+c とおいても P (1) P(2) しかないので, 未知数3つ (エノ 式2つの形になり, 答はでてきません. . a+b-10=0 l2a+b-12=0 ∴.a=2,b=8 よって, R(x)=(2x+8)(x-3)+26 =2x2+2x+2 注 (別解)のポイントの部分は,P(3) R (3) となることからもわ かります. (2) P(x) を (x-1)(x-2) でわった余りをR (z) (2次以下の整式)と おくと,P(x)=(x-1)(x-2)Q(x) +R(x) と表せる. 余 ところが,P(x) は (x-1)2 でわると2x-1余るので,R(z) も (x-1)2でわると2x-1余る. よって, R(x)=a(x-1)2+2x-1 とおける. :.P(x)=(x-1)(x-2)Q(z)+α(x-1)2+2x-1 P(2) = 5 だから, α+3=5 a=2 よって, 求める余りは, 2(x-1)'+2x-1 すなわち, 2x²-2x+1 解 答 (1) 求める余りはax+bx+c とおけるので, 3次式でわった余り P(x)=(x-1)(x-2)(x-3)Q(x)+ax2+bx+c は2次以下 と表せる. P(1)=6, P(2)=14,P(3)=26だから, ポイント f(x)をg(x)h(x) でわったときの余りをR(z) とす ると [a+b+c=6 4a+26+c=14 ......① ② 9a+3b+c=26 ...... ③ ① ② ③ より, a=2, 6=2,c=2 よって, 求める余りは2x2+2x+2 注 連立方程式を作る 25 の考え方を利用すると,次のような解答ができます。 (別解) P(x)=(x-1)(x-2)(x-3)Q(z)+R(z) P(x)はx-3でわると26余るので R(x) もx-3でわると26余る. (R(x)は2次以下の整式) ポイント よって, R(x)=(ax+b)(x-3) +26 とおける.ax+bx-3で P(1)=6,P(2)=14 より,R(1)=6,R(2)=14 わったときの商 演習問題 26 f(x)をg(x) でわった余りと R(x)をg(x) でわった余りは等しい (h(x) についても同様のことがいえる) (1) 整式P(x) をx+1, x-1, x+2でわると, それぞれ3, 7,4余 このとき,整式P(x) を (x+1)(x-1)(x+2) でわったときの りを求めよ. (2) 整式P(x) を (x+1)2でわった余りが2x+1, r-1でわった

写真の問題後半の『その中で1組の隣あう二つの数字だけが同じであるものは何個あるか』の意味を教えてください 解説を見ても、問題の意図がわかりませんでした。

** ← 3 2個以上の同じ数字を含む4桁の正の整数は何個あるか.また,その中 p.324 で1組の隣り合う2つの数字だけが同じであるものは何個あるか、

情報(数学？) この模範解答以外の解き方を教えていただきたいです。わかる方よろしくお願いします🙇

等学校の数を するために最低限必要となるデー バイト12 1240 28 (8分 計 n進法 次の記述の空欄 アイウエにあてはまる数字を答えよ。 C県にあるCドリームリゾートは,2000台分の駐車スペースをもつ中規模のテーマパークである。今 ただ,Cドリームリゾートの支配人であるT氏は縁起をかつぐ人のため, 数字の4と9は使わない方針 回、来場者からの要望により、駐車位置を明確にするため駐車スペースに通し番号を振ることになった。 を固めている。この方針に従って駐車場番号を 1, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 10, 11. とわり振っていくとき、 2000台目となる最後の駐車スペースの通し番号は アイウエ 番になる。 なお,n進法では,情報の表現にn個の数字を利用することから, 8進法における任意の数は 「…d × 83 + c × 82 + b × 8' + a × 8°」の形で表すことができる。 3820 ②のうちから

数Iの三角比の問題の問題です。基礎問題精巧の正弦定理のとこで途中式が飛びすぎていてわからないので途中式を教えてください

(1) △ABC 問いに答えよ. BC=2, ∠A=60° ∠B=75° のとき, ABの長さを求めよ. (2) 外接円の半径Rを求めよ. 精講 定理です. 三角形の辺と角(これらを三角形の要素といいます) をつなぐ公式 には,三平方の定理のほかに正弦定理と余弦定理があります。まず, 正弦定理について学びます. 正弦とあるからには, sin が含まれた a b C 〈正弦定理 > sin A sin B sin C =2R b (Rは外接円の半径) B' a C 解 (1) ∠C=180°(60°+75°)=45°だから,正弦定理より 2 AB . AB= 2√6 sin 60° sin 45° 3 2 1 (2) 2R= R=- . 2 2√3 I-A Je sin 60° sin 60° √3 3 第5章 ポイント 与えられた条件と求めるものを合わせてみたとき, 向かいあわせの辺と角2組, または、 外接円の半径 ⇒ 正弦定理 注 三角形の内角0は 0°<0 <180° だから, sin0=123と1つに決まっても、 8=30°,150°の2つが決まることがあります. (⇔演習問題77) 習問題 78 △ABCについて, AB=2, AC=√6, ∠B=45°のとき, sin C . の値を求めよ.

０番が正しくないのはなぜですか。 箱ひげ図から最小値も最大値も四分位数も全て大ききくなっているので平均値も大きくならないのですか。？

問題 130 第8章 20人の生徒が10点満点のテス┃━┫ トを受け,そのデータを箱ひげ図 にしたものがI,後日,間違いをⅡ┣[ 修正したものがII である. I と IIの箱ひげ図の分析結果として 正しいものは, ⑩~③のどれか. 012345678910(点) ⑩得点の修正後の平均値は修正前の平均値より上がった. ① 得点の修正前と比較すると,少なくとも2人の得点が変化した. ② 得点の修正後のデータのばらつきは修正前に比べて大きくな った. ⑩~②の中につねに正しいといえるものはない.