基本例題161 対数不等式の解法 (2) 不還株 0 0000
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基本例題
【上智大)
不等式 log2x-6logx221 を解け。
本16.
CHARTOSOLU
対数不等式
OLUTION
おき換え [logax=t] でtの不等式へ
真数の条件,底aと1の大小関係に注意
6
log2x一
log2x
- 底の変換公式
-M1
一
底を2にそろえると
log2x=t(tは任意の実数, ただし tキ0) とおくと, t-21 となり、面辺-。
を掛けてtの2次不等式の問題に帰着できる。 ただし, tの符号によって不準目
の向きが変わるので, t>0, t<0 で場合分けをする要領で解く。 7
解答
対数の真数,底の条件から
x>0 かつ xキ1
また
logx2=-
log2x
全底を2にそろえる。
xキ1 から log.xキ0
6
-21
log2x
[1] log2x>0 すなわち x>1 のとき
よって, 不等式は
log2x-
x
*a>1 のとき, x>1 でH
logax>0
①の両辺に 1og2xを掛けて
(log2x)?-62log2.x
よって
(1og2x)?-1og2xー620
(log2x+2)(log2x-3)20
ゆえに
合だーt-6
log2x+2>0 であるから log2x一320 すなわち log2x>3
=(t+2)(t-3)
底2は1より大きいから x28
これは x>1 を満たす。
の [2] 1og2x<0 すなわち 0<x<1 のとき
のの両辺に 1og2xを掛けて
*log2x>0 から。
'log2x>log.8
*a>1 のとき、
0<x<1 では logaく
よって
(log2x)?-6Slogex
(1og2x)-1og2x16ハ0
(log2x+2)(log2x-3)<0
log2x-3<0 であるから log2.x+220 すなわち log2x>-2
ゆえに
よって
logax<0 から。
Cog!
-2Slog2x<0
