「
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最大・最小から係数の決定 (2)
重要 例題 65
■ 基本 56
関数 f(x)=x²-2ax+α2+2a-3がある。ただし, 0≦x≦1とする。
(1) f(x) の最小値mをaを用いて表せ。
(2) m=0のとき, α の値を求めよ。
CHART
OLUTION
係数に文字を含む2次関数の最大・最小
軸と定義域の位置関係で場合分け
(1) f(x)=(x-q)2+2a-3 から,軸は直線x=α である。軸の位置が
[1] 定義域の左外[2] 定義域内 [3] 定義域の右外にある場合に分ける。
(2)(1) の結果を利用する。なお、 場合分けの条件を忘れないように。……
解答
(1) f(x)=(x-a)+2a-3であるから、与えられた関数のグ
ラフは下に凸の放物線で, 軸は直線 x =α である。
x=0で最小値をとるから
[1] a < 0 のとき
----------
m=f(0)=a²+2a-3
[2] 0≦a≦1のとき
••••••
m=f(a)=2a-3
[3] α>1 のとき
m=f(1)=α²-2
x =αで最小値をとるから
x=1で最小値をとるから
(2) [1] α<0 のとき m=0 であるから a²+2a-3=0
これを解いて α = -3, 1
a < 0 であるから a=-3
これを解いて α=
[2] 0≦a≦1のとき m=0 であるから 2a-3=0
-------
3
2
これは, 0≦a≦1 を満たさない。
[3] α>1 のとき m=0 であるから d²-2=0
これを解いて α=±√2 a>1 であるから a=√2
[1]~[3] から
a=-3,√2
[1]
[2] f(x)
0
ao
a
[3] f(x)
*f(x)
条件
重
1
最小
I
8
CH
O
解
