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重要 例題 83 2次関数の係数決定 [最大値・最小値] (2)
00000
定義域を 0≦x≦3 とする関数f(x)=ax2-2ax+bの最大値が9, 最小値が10
とき,定数α bの値を求めよ。
基本82
指針 この問題では, x2の係数に文字が含まれているから, αのとる値によって, グラフの形が
変わってくる。 よって,次の3つの場合分けを考える。
a=0 (直線), a> (下に凸の放物線 ), a<0 (上に凸の放物線)
a=0のときは, p.128 例題 77と同様にして, 最大値・最小値をa, bの式で表し, 9,=1
から得られる連立方程式を解く。
なお、場合に分けて得られた値が、 場合分けの条件を満たすかどうかの確認を忘れないよ
うにしよう。
ARGIDEY TRA
解答
関数の式を変形して
f(x)=a(x-1)^-a+b
[1] α = 0 のとき
f(x)=b (一定) となり、 条件を満たさない。
[2] a>0のとき
f(x)のグラフは下に凸の放物線と
なり, 0≦x≦3の範囲でf(x) は
x=3で最大値 f (3)=3a+b,
x=1で最小値f(1)=-a+b
をとる。 したがって
3a+b=9, -a+b=1
これを解いて a=2, b=3
mn
[3]
これはα> 0 を満たす。
き
f(x)のグラフは上に凸の放物線と
なり, 0≦x≦3の範囲でf(x) は
x=1で最大値f(1) = -a+b,
x=3で最小値f (3)=3a+b
をとる。 したがって
a+b=9, 3a+b=1
これを解いて a=-2, b=7
これはα<0 を満たす。
以上から
[a>0]
GF
最小
|| x=0 x=1 x=3
[a<0] 軸
近
最大
α = 2, b=3 または α=-2, 6=7
最大
最小
x=0 x=1 x 3
まず, 基本形に直す。
常に一定の値をとるから,
最大値 9, 最小値1をとる
ことはない。
<軸は直線x=1で区間
0≦x≦3内にあるから,
a>0のとき
軸から遠い端 (x3) で最
大, 頂点 (x=1) で最小と
なる｡
この確認を忘れずに。
軸は直線x=1で区間
0≦x≦3内にあるから,
a<0のとき
頂点 (x=1) で最大,
軸から遠い端 (x3) で最
小となる。
この確認を忘れずに。
注意 問題文が “2次関数" f(x)=ax2+bx+cならばαキ0は仮定されていると考えるが, “関数”
f(x)=ax²+bx+c とあるときは,α=0のときも考察しなければならない。
