7. このような記述でも大丈夫ですか？ （qC0=1なので書いていない点と、結末の文章が少し異なる点が解答例の記述と違うところです。） また、k=3qのときのみq≠0なのは 単にk=0だと「kは自然数である」という条件に反するからですか？ また、実際の記述文で 2^k=2^... 続きを読む

20 0000 重要 例題 7 整数の問題への二項定理の利用 kを自然数とする。 2 を7で割った余りが4であるとき, kを3で割った余 [類 千葉大 ] 100 2であることを示せ。 VESA 指針 2=7l+4 (1は自然数) とおいてもうまくいかない。ここでは, んが 3g, 3g+1, 3g+2 3で割った余りが 0, 1, 2 (gはkを3で割ったときの商) のいずれかで表されることに注目し,k=3g+2 の場合 け2を7で割った余りが4となることを示す方針で進める。 解答 kを3で割った商をg とすると, は 3g, 3g+1, 3g+23で割った余りは0か のいずれかで表される。 2である。 A [1] k=3g のとき, g≧1 であるから C₁k=3, 6, 9, 例えば,k=3gのときは, 2=239=8° であり, 8°= (7+1) として二項定理を利用する 2を7で割ったときの余りを求めることができる。 ...... 2″=23º=(23)°=8°=(7+1)^ よって,2を7で割った余りは1である。 [2] k=3g+1のとき, g≧0であり g = 0 すなわちk=1のとき g≧1 のとき 2=239+1=2・239=2•8°=2(7+1)° 練習 = Co7°+ °C179-1 + +α Cg-17+Cg =7(Co70-1+,C,79-2+..+aCa-1)+1 (4) 7 2″=2=7・0+2 よって2を7で割った余りは2である。 [3] k=3g+2のとき, g≧0であり g=0 すなわちん=2のとき Q1のとき 2239+2=22・23º=4・8°=4(7+1)。 7.2(C79-1+,C179-2+..+,Cq-1)+2 (*) 10001 "(0[+1-)="|| 2"=22=4=7・0+4 _=7.4(C079-1+,C179-2++qCq-1) +4 別解 合同式の利用。 A までは同じ。 8-1 = 7・1であるから [1] k=3g (g≧1) のとき <二項定理 <k=1, 4,7, ****** は整数で, 2″ = 7× (整数)+1の形。 20+00001-1- +1000erer= よって2を7で割った余りは4である。 ANT [1]~[3] から,2* を7で割った余りが4であるのは,k=3g+2のときだけである。 したがって2を7で割った余りが4であるとき,kを3で割った余りは2である。 1 (1) (x³ (2) (x- (3) (x² 二項定理を適用する式の 数は自然数でなければな③4 [1] の式を利用。 2514 合同式については,改訂版チャート式基礎からの数学I+A p.492 ~ 参照 ← 8=1 (mod 7) 2k=239=8°=1°≡1 (mod 7) [2] k=3g+1 (g≧0) のとき g = 0 の場合 2=270+2 2k=239+1=892=1°•2=2 g≧1 の場合 esa [3] k=3g+2 (g≧0) のとき g = 0 の場合 24=70+4 2k=239+2=8%22=1%･4=4 g≧1 の場合 以上から2を7で割った余りが4であるとき, kを3で割った余りは2である。 正の整数nでn" +1が3で割り切れるものをすべて求めよ。 2 (1) 正 求め Je 08)000- |自然数nに対し CRAC ›3 (1) ( nCo (2) - 明 ないから, q=0 とg≧11 分けて考える。 (*) は 5 (1) の式を利用してい 5 k=2,5,8, Ex a=b (mod m) のとき α"=6" (mod m) (2) 〔類 一橋] C²1 EX5 (3) n ≧ (2) (3) (4) ④6(x HIN

245番の解説をお願いします🙇‍♀️ 接線の問題です。

が成り立つとき, f(x) と 86 曲線 y=x-x 上の点 (1, 0) における接 線がこの曲線と交わるもう1つの点の座標を求 めよ。 87 3次関数 y=x+x²-1のグラフの接線で, 原点を通るものの方程式を求めよ。 また, その ときの接点の座標を求めよ。 (*) (uv)'=u²v+uv' 曲線上の点における接線 曲線 y=f(x) 上の点P(a,b)に おける接線の方程式は y-b=f'(a)(x-α) ・曲線上にない点Qを通る接線 曲線上の点P(a, f(a)) における 接線y-f(a)=f'(a)(x-a) が点 Qを通ることからαを決定。 A *244((x)=x+ax+bx+cとする。 曲線 y=f(x) は直線y=x+3と点 P (-1, 2) で接している。 また, 曲線 y=f(x) 上の点Q (2, f(2)) における接 [05 津田塾大] 線は点Pを通る。このとき,定数a, b, c の値を求めよ。 *245a は実数とする。 2つの曲線 y=x2+2ax²-34²x-4 と y=ax2-2a²x-3a は、ある共有点で両方の曲線に共通な接線をもつ。 このとき, αの値を求めよ。 [05 千葉大]

124.1 n≡1,3,5,7(mod8)とはどういうことですか？

D U う。 7 演習 例題 124 合同式を利用した証明 (2) on は奇数とする。 このとき,次のことを証明せよ。千葉大 ] (1218の倍数である。 (2)は3の倍数である。 3 10の倍数である。 決まった数の割り算(倍数)の問題では合同式の利用の方針の解答を示す。 指針▷ (1) は法8の合同式を利用し, (②)は法3の合同式を利用することはわかるが, (3) を法120 の合同式利用で進めるのは非現実的。 そこで, (1), (2) は(3) のヒントに従って n³_n=n(n²+1)(n²-1) は 8×3=24の倍数 考えると (2) から、3の倍数↑↑↑ (1) から8の倍数 120+24=5であるから、後は,n-nが5の倍数であることを示せばよい。 解答 (1) nは奇数であるから n n=1,3,5,7 (mod 8) このとき、 右の表から n²-1=0(mod 8 ) よって、nが奇数のとき, ²-1は8の倍数である。 (2) 2012 (mod3)のとき, 右の表から-n=0 (mod3) よって は3の倍数で ある。 n 1 3 19≡1 0 0 2 nº n²- 2 n n5-n 0 5 7 25=1 49=1 0 0 || (3) n5-n=n(n²+1)(n²−1) ここで,(1) から²-1は8の倍数であり,これと (2) から, ninは24の倍数である。 0 1 2 n n5 0 15 1 25=2 n n 0 0 0 ゆえに -n が 120の倍数であることを示すには,n-n が5の倍数であることを示せばよい。 n=0,1,2,3,4 (mod5)のとき, n-nを計算すると, 次の表のようになる。 0 1 0 15=1 0 って ns-n=0 (mod 5) したがって, nn は 8 かつ3かつ5の倍数, すなわち120 の倍数である。 3 4 2 25=2 35=3 45=4 0 0 0 演習 123 n は奇数であるから, 8で 割った余りが偶数になるこ とはない。 条件では, n は奇数である が すべての整数nについ ては3の倍数であ る。 120=3-5-8 5 を法として 35=34-3=1.3, 4°=4.4≡(42)2.4=1･4は M 3と5と8は互いに素。 の特集 TURAL で割り切れない奇数のとき, n-1は80で割り切れることを証明せよ。 5でも割り切れない整数のとき, n-1は240で割り切れ 497 4章 19 発展合同式 ･ある。 ある。 :-1) たと 数は, 2) 数で ある には, ①へ。 5 るな を満 つ。 5 る n進 いう。 14234

気体の溶解度の質問です。 問題のイメージが浮かばなくて、困っています。 下の質問①～④に答えてくださると嬉しいです。 ①分圧2.0×10∧5乗Paの二酸化炭素とは、 容器内の水1.00Lに対して働く気体の力ってことであっていますか？ 添付した画像(3枚目)の矢印⬇️のよう... 続きを読む

発展問題 __check! 266 気体の溶解度 右表は, 分圧 1.0×10 Pa. 温度 0℃ および20℃ において、 水 1.00Lに溶解す る二酸化炭素と窒素の物質量を表している。 温度,圧力,体積を変えられる容器を用意し、次 の操作 ①~③を順に続けて行った。 以下では,ヘン リーの法則が成り立つとし、水の体積変化および蒸気圧は無視できるとし、 気体定数R = 8.3 × 103Pa・L/ (K・mol) とする。 = 操作 ① この容器に水1.00L を入れ、 圧力 2.0 × 10 Paの二酸化炭素と20℃において 平衡状態にしたあと, 密閉した。 このとき, 容器中の気体の二酸化炭素の体積は 0.20Lであった。調 0 (S) 操作②次に、密閉状態を保ち,体積一定のまま, 全体の温度を0℃に冷却し,平衡 状態にした。 操作 ③ さらに, 容器の体積を変えずに、温度を0℃に保ちながら、二酸化炭素を逃さ 24 ないように容器に気体の窒素を注入し, 全圧 2.0 × 10 Paにおいて平衡状態にした。 (1) 操作 ① のあと, 水に溶けている二酸化炭素の質量を有効数字2桁で求めよ。 (2) 操作②を行ったあとの、 気体の圧力および水に溶けている二酸化炭素の質量を有効 数字2桁で求めよ。 ただし, 水は液体の状態を保っていたとする。する TA (3) 操作 ③のあと, 水に溶けている二酸化炭素の質量を有効数字2桁で,水に溶けてい 一般 -100% ある窒素の質量を有効数字1桁で求めよ。 SHER TARIFS # 1/3 表 分圧 1.0 × 10Pa における二酸化 炭素と窒素の水 1.00L への溶解量 窒素 二酸化炭素 0℃ 7.7×10mol 1.0×10mol 20℃ 3.9×10 2mol 6.8×10mol けっしょう ATT FE FFF + (千葉大) 101 T

383の解説をお願いします🙇‍♀️ 数学B、数列です。 格子点を使うのかな？と思ったのですが、上手くいきませんでした。

*383mを正の整数とする。 座標平面上の点 (x, y) で xn+yn (n=1, 2,3,....) がすべて整数であるようなものは, 連立不等式x≧0, [21 千葉大〕 y≧0, x+y≦m の表す領域に何個あるか答えよ。

演習β 21回 6 (2)マーカー部分がなぜこうなるのか分からないので教えてください。

6 [2010 千葉大] を (1) 3"=k+1 を満たす正の整数の組(k, n) をすべて求めよ。 E (2) 3"=k-40 を満たす正の整数の組(k, n) をすべて求めよ。 解答 m は正の整数とする。 (1) 3″=k³+1=(k+1)(k² −k+1) k+1≧2から,k+1=3m 3"=3m{(3m-1)-(3-1)+1} から 3"m=32m-3.3m +3 In kazmy) 3n-m-1=32m-1_3" +1 よって 右辺は3で割ると1余るから n-m-1=0 ① とおく。 3m-1-1=0 13 (3-1-1)=0 このとき, ② ゆえに ゆえに, ①,③から (2)3=k²-40から k2-3"=40 [1] n=2m のとき k2-32m=40 よって mの値を出せばい kが求まる….. (k+3)(k-3m)=40 k+3">k-3m> 0から 21312 よって (k, n)=(2, 2) んは正の整数であるから 塩から 3²m-23m +1-3+1+1 = 3²m. 3 m (-2-1) +3 ²3²m-3-3m +3 m=1 (k+3m, k-3)=(40, 1), (20, 2), (10, 4), (8, 5) let} ™=20 J 21:23 Kay ...... 13:3 -3 m = -9 3m = 9 を考 数 M (k, 3)=(11, 9), (7, 3) + 6 = 2 ゆえに (k, m)=(11, 2), (7, 1) よって (k, n)=(11, 4), (7, 2) [2] n=2m-1のとき k2-32m-140 40 の一の位は0であるから, ④より, k2と32m-1の一の位が一致する。 ところがんの一の位は1, 4,5,69であり, 32m-1の一位は3,7であるから 矛盾。よって, ④ を満たす (k, m) は存在しない。 [1], [2] から (k,. n)=(11, 4), (7, 2) 30445

マーカー部分はなぜ3^nになるんですか？

6 [2010 千葉大] (1) 3+1を満たす正の整数の組(k, n) をすべて求めよ。 (2) 3=k-40 を満たす正の整数の組(k, n) をすべて求めよ。 解答 m は正の整数とする。 mの値を出せば (1) 3″=k³+1=(k+1)(k² −k+1) kが求まる….. k+1≧2から,k+1=3m 3"=3m{(3m−1)2−(3" -1)+1} から このとき よって 右辺は3で割ると1余るから n-m-1=0 ② ..... しつk=3ml) ① とおく。 3"-m=32m-3.3"+3 21316=32m0.3m(-2-1)+3 3"-m-1=32m-1_3m+1 =320-3-3mm+3 ゆえに ゆえに, ①,③から 3m-1-1=0 ...... 3m(3-1-1)=0 指数から 32m-2-3+1-3+1+1 よって (k, n)=(2, 2) m=1

いろいろと複雑に書いて見えずらくてすみません。 ①なぜ、8qを(7＋1)に分けるのですか？ ②なぜこの問題において、二項定理を利用するという発想にいたるのか？ ③どうやって7でくくっているのですか？ ④なぜ、余りは1と分かるのか？ ⑤赤で丸で囲った所がわからない。なぜそうな... 続きを読む

20 重要 例題 7 整数の問題への二項定理の利用 を自然数とする。 2を7で割った余りが4であるとき, kを3で割った余りは 2であることを示せ。 [類 千葉大] 指針 271+4 (Zは自然数) とおいてもうまくいかない。 ここでは, kが 3g, 3g+1,3g+2 gはkを3で割ったときの商)のいずれかで表されることに注目し, k = 3g+2の場合だ け2を7で割った余りが4となることを示す方針で進める。 例えば,k=3gのときは, 2=28° であり, 8°= (7+1)として 二項定理 を利用すると DE 2 AX 3 2* を7で割ったときの余りを求めることができる。 01²1₂ 20 解答 を3で割った商を のいずれかで表される。 からな A [1] k=3gのとき,g≧1であるから ver -3で割った余りが 0, 1,2 2'=23=(2')'=8°= (7+1)。 Coz kは 3g, 3g+1, 3g+2 すると, =7₂C079¹+C₁79-2 + で割った余りは1である。 +179-1 + +oCg-17+C 3424 よって2 [2] k=3g+1のとき,Q≧0であり g=0 すなわちん=1のとき q≧1のとき 2=239+1=2・239=2.8°=2(7+1)* 2²=2=7.0+2 なぜら が =7.2(C79-1+,C179-2+..+, Caf1) +2 (*) よって2を7で割った余りは2である。 [3] k=3g+2のとき,Q≧0であり g=0 すなわちk=2のとき q≧1のとき 2=239+2=22・239=4・8°=4(7+1)。 2=22=4=7・0+4 よって2を7で割った余りは4である。 ctrl =7.4(C79-'+。C,79-2+..+°Cq-1) +4 重要 6 ←なせい? étany 3で割った余りは0か1か 2である。 Ak=3, 6, 9, ④なぜましょ | 二項定理 t" i ot z Ol+ ムー2 20 to pr は整数で, 2k = 7× (整数)+1の形。 1k=1, 4,7, 【二項定理を適用する式の 数は自然数でなければな ないから,g=0 とg≧1 分けて考える。 (*)は の式を利用して導いてい Ak=2, 5, 8, [1] の式を利用。 である

この問題がわかりません。　確率全般苦手なので丁寧に教えていただけるとありがたいです。

22 2018年度 数学 千葉大-理系前期 9 箱の中に枚のカードが入っている。 ただし ≧3とする。そのう ち1枚は金色, 1枚は銀色, 残りの (2) 枚は白色である。 この箱か らカードを1枚取り出し, その色が金なら50点、銀なら10点, 白なら 0点と記録し､ カードを箱に戻す。 この操作を繰り返し、 記録した点の 合計が回目にはじめてちょうど100点となる確率 P (k) を求めよ。

実数αが存在するための条件がD≧0となるのはなぜですか？（解説の8行目）

222 第3章 図形と方程式 例題 118 直線の通過領域 放物線 y=x2 上の2点A(α, o2), B(β, β2) , β-α=1 を満たしな (千葉大改) がら動くとき、直線ABが通過する領域を図示せよ. 考え方 解答 B-a β-a TASH したがって,直線AB の方程式は, y-d²=(2a+1)(x-α) つまり, y=(2a+1)x-o-α について整理すると, °+(1-2x)a+(y-x) = 0 ..... ① ①をxについての2次方程式とみて、判別式をDとすると 実数 α が存在するための条件は,D≧0 Y₁y=x²+ 与えられた条件を利用して、 直線AB の方程式をx, y, α で表す. この方程式をaについての2次方程式とみて、実数が存在するための条件を考える B²-a²_(B+a) (B-a)=a+B=a+(a+1)=2a+1 D=(1-2x)-4(y-x) ABの通過領=4²-4y+1≧0 したがって, Focus y≤x²+- 4 よって、求める領域は右の図の斜線 部分で,境界線を含む. 4 y=-a²+ (2x −1)a+x=-(a_²x =_=1 )² + x ² + 1 1/2/ 2 点 (x,y) が直線AB の通過領域に含まれる ⇔点 (x,y) を通る直線ABが存在する ⇔点 (x, y) に対して、 ①の実数解 α が存在する よって-(α-2x-1) 20 であるから, y=x+1 ≦0 x² 注〉線分 AB が通過する領域を考えてみる。 **** β-α=1 より = a +1 直線ABが通過 する 変数だとそもそもAB存在しないので 注》次のように考えてもよい。 直線AB について, x を固定して, α について整理すると, 10=A+ AISAIT 線分AB はつねに放物線y=x2 よりも上側にあ る。 つまり、y≧x2 これと、解y=x2+1/12 より,求める領域は右 の図の斜線部分, 境界線を含む. ほうらく 放物線y=x²+-を直線ABの包絡線という 直線ABが存在 する 点A,B が存在す る ↓ 実数 α が存在する y=x² + 1 800 1 YA √y=x² 4B Thi 例