基本 例題 20 極限の条件から数列の係数決定など
①①①①
(1) 数列 {a} (n=1, 2, 3, ...) が lim (3n-1)α=-6 を満たすとき,
■である。
lim nan
8
7118
[類 千葉工大]
(2) lim(√2+an+2-√n²-n) =5であるとき、 定数 αの値を求めよ。
/p.34 基本事項 2 基本 18
41
指針 (1)条件 lim (3n-1)a=-6を活かすために,na"=3n-1)lan×
n
と変形。
→∞
13n-
数列{37-1
は収束するから,次の極限値の性質が利用できる。
liman=a, limbn=β⇒limanbn=aβ (a,βは定数)
818
818
n18
(2) まず, 左辺の極限をαで表す。 その際の方針は p.38 基本例題18(3) と同様。
(1) nan=(3n-1)anx n であり
3n-1
lim(3n-1)an=-6,
→∞
lim
n→∞ 3n-1
n
= =lim
n1α
1
3-
n
n
limnan=lim(3n-1)an×lim
よって
n→∞
n→∞
n→∞
3n-1
13
nan を収束することが
わかっている数列の積で
表す。
(税込)
極限値の性質を利用。
=(-6)=-2
3
であるから
(2) lim(√2+an+2-√n-n)
n→∞
=lim
n→∞
(n²+an+2)−(n²−n)) =m=mil
√√n²+an+2+√√n²-n
((a+1)n+2 mi
=lim
→∞
=lim-
n18
√netan+2+√n²-n
(a+1)+-
2
n
12
n
==a+1
2
(税込)
分母分子に
√n²+an+2+√n-n
を掛け,分子を有理化。
1分母分子をnで割る。
子をnで割る。
'n> 0 であるから
n=√
a 2
n
1+ + + 1
n²
よって, 条件から
a+1
=5
2
Ma=9
したがって
{a.l.
αの方程式を解く。
