例題
225 3次関数が極値をもつ条件
D
頻出
★★☆☆
(1) 関数 f(x)=x3+ax²+4x-3 が極値をもつとき, 定数αの値の範囲
を求めよ。
(2) 関数 f(x) =ax2+(a-2)xが常に増加するとき,定数αの値の範囲
を求めよ。
条件の言い換え
(1)3次関数 f(x) が極値をもつ
⇔
⇔
(f'(x) = 0 となる x が存在し,
その前後でf'(x) の符号が変わる
2次方程式f'(x)=0が
極大
y=f(x)
a
B
極小
思考プロセス
y=f(x)/
異なる2個の実数解をもつ/
+
+
(2)常に増加する
f(x) ≧ 0 き
すべてのxに対して
B x
5章
導関数の応用
Action » 3次関数の極値に関する条件は, f(x) = 0 の判別式の符号を考えよ
(1) f'(x) =3x2+2ax+4 は2次関数であるから, f(x)
が極値をもつための条件は, 2次方程式 f'(x)=0が異
なる2つの実数解をもつことである。
f'(x) = 0 の判別式をDとすると
Da²-12
4
y=(3)
も
D> 0
回し
α-12 >0より, 求めるαの値の範囲は
a<-2√3,2√3<a
(2) f(x)が常に増加するための条件は,すべての実数xに
対してf'(x) ≧0となることである。
ここで f'(x) = 3ax2+(a-2)
(ア)=1のとき
f'(x)=-2となるから、不適。 全ての人に対して
(イ) α 0 のとき
001
f'(x) = 0 の判別式をDとすると
800≧0だから?
a > 0 かつ D=-12a (a-2) ≤0... ①
①より
a(a-2) ≥0
a>0であるからa≧2
(ア)(イ)より求めるαの値の範囲は
704-a≥2
対応して
(a+2√3)(a-2√√3) > 0
よって
a<-2√3,2√3<a
| 最高次の係数 3αが0に
なるかどうかで場合分け
する。
f'(x) のグラフを考える
D<0
または
D=0
x
グラフより, α-2≧0と
してもよい。
