a1=1, an+1=3an+4n (n≧1) で表される数列{ansがある。
(1)an+2n=bm とおくとき, bnbの間に成りたつ関係式を
求めよ.
(2) bm を求めよ.
|精講
(3) an を求めよ.
an+1=pan+gn+r (p≠1) ...･･･ ① 型の漸化式の解き方には次の
3通りがあります。
II.an+an+β = b とおいて, bn+1=rón 型になるように, a, βを決める
I. an+an=b とおいて, b+1= pbn+α 型になるように,αを決める
III. 番号を1つ上げて an+2=pan+1+α(n+1)+r ......②
を用意して ② ①を計算し、
an+1-an=bn とおいて, 階差数列の考え方にもちこむ
この問題では, I を要求していますので,II, IIの解答は参考
を見て下さい
(1)an=bn-2n,an+1=bn+1-2(n+1) だから,これらを与式に代入して
bn+1-2(n+1)=3(6-2n)+4n
∴.bn+1=36+2
(2)+1=36+2 より bn+1+1=3(bn+1)
ゆえに、数列{bm+1} は,
初項 b1+1=(a+2)+1=4, 公比3の等比数列.
|an+1=pan+g 型
α=3α+2 より
α=-1(124
よって, bn+1=4・3n-1
:.b=4・3"-1-1
(3) an=bn-2n=4・3"-1-2n-1
(その1) (IIの考え方で)
参考
an+an+β=bn とおくと,
an=bn-an-β, an+1=bn+1-α(n+1)-β
与えられた漸化式に代入して
bn+1-α(n+1)-β=3(bn-an-β)+4n
.bn+1=36+(4-2α)n-2β+α
ここで, 4-2a=0.2
