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基本5 二係数と式の証明
(1)
19
00000
(822-1.2... n) が成り立つことを証明せよ。
(2)(140)"の展開式を利用して、次の等式を証明せよ。
(1) Co-C1+Ca
C-C+2,C,.....+(-2)",C.+....+(-2)"C"=(-1)"
(1)C
+(-1) C++ (-1)".C.-0
p.13 基本事項
を利用して、 kC
をそれぞれ変形する。
10
(2)定理(.13基本事項■)において、 a1bx とおくと
3次式の展開と因数分解、二項定理
(1+x)^=.C+CistaCoナ・・・・・・+C++C
******
①
挙式のと、与式の左を比べることにより、①の両辺でx=1 とおけばよいこと
に気づく。同様にして、(f)()ではに何を代入するかを考える。
(U) A.C.-A.
(一)
解答
(n-1)!
(k-1)!(n-k)!
(-1)!
R-CA-1-
(1)1((n-1)(A-1)}!
したがって
RaCa=-1-1
4n!-n(n-1)!
(n-1)!
(k-1)!(n-k!
すべてのxの値に対して成り立つ。
①
(2)二項定理により、次の等式①が成り立つ。
(1+x)"=Cat.Cix+++CsJ......Cax*
(ア)等式① で, | とおくと
(1+1)=,Co+C11+1+......+.+......+C・1"
よって Co+++......+C+....+Ca=2"
(イ)等式①で、x=-1とおくと
(1-1)"=C+C (-1)+(-1)*+....+C (-1)+..+.C.(-1)*
よって
Co-C+C+(-1) Cy+....+(-1)",C,=0
(ウ)等式①で、x=-2とおくと
(1-2), Co+ C (-2)+2(-2)+....+°C, (-2)"'+....+C (-2)
Co-2,C,+2,C2......+(-2)"C,+......+(-2)",C=(-1)*
よって
素数とするとき (1) から
RCx=poCi-l(p≧2;k=1,2,,p-1)
この式はC が必ず』で割り切れることを示している。
次の等式が成り立つことを証明せよ。
5
-+-+(-1)*1
2" 2"
(2)が奇数のとき
Cot,C2+....+.+.+....+, Co=20-1
(3)nが偶数のとき
Cat,C+....+....+aCa-1=24
P.23 EX3、
