横浜国立大の編入試験問題【数学】です。 答えもなく解説もなく困っております。 ２枚目の画像は私が解いたものです。 採点と修正をお願い致します。

平成30年度横浜国立大学理工学部編入学試験問題 試験 科目:専門科目 【土木基礎数学) [土木基礎数学2] 領域 Rを0Sxs1,0<ysv1-xで定義する。 領域R の境界線を曲線Cとする。 ア 1 R x O (1) 領域R において F(x, y) = 1 を積分せよ。 (2) 領域Rにおいて G(x, y) = y? を積分せよ。 (3) 原点0から曲線Cに沿って矢印の向きにH(x, y) = xy° を積分せよ。

[3][4]は直角三角形ができない場合の場合分けだと思いますが、[1][2]の場合分けをする意味が分かりません 教えてください

147 基本 例題83 極方程式と軌跡 OO0 点Aの極座標を(10, 0), 極0と点Aを結ぶ線分を直径とする円Cの周上の任 意の点をQとする。点Qにおける円Cの接線に極0から垂線 OP を下ろし,点 Pの極座標を(r, 0) とするとき, その軌跡の極方程式を求めよ。ただし, 0S0<rとする。 【類岡山理科大] 基本81 指針>点P(r, 0) について, r, 0の関係式を導くために, 円Cの中心Cから直線 OPに垂線 CH を下ろし, OPと HP, OH の関係に注目する。… まず, 0<0<う2 T <0<πで場合分け をしてr, 0の関係式を求め,次に, 0=0, 2章 Tπ の各場合について吟味する。 2 11 CHART 軌跡軌跡上の動点(r, 0)の関係式を導く -08091 解答 円Cの中心をCとし, Cから直線 OP に垂線 CHを下ろすと 10= を境目として, Hが 2 線分 OP上にあるときと, 線分 OP の延長上にある ときに分かれる。 OP=r, HP==5 P [] 0<0<号のとき Q H OP=HP+OH 5 0 -5-C 直角三角形COH に注目。 OH=5cos0であるから r=5+5cos A X C [2] 号くの<れのとき 2 OP=HP-OH 直角三角形 COH に注目。 ここで OH=5cos(πー0)=15cos0 よって r=5+5cos0 [3] 0=0 のとき, PはAに一致し, OP=5+5cos0を満たす。* P. Y、 (*)[1], [2] で導かれた O C A HT-0 C X r=5+5cos0が0=0, 2 のときも成り立つかどうか をチェックする。 参考 r=5(1+cos0) で表さ [4] 0= のとき, OP=5で, T OP=5+5cosを満たす。*) れる曲線をカージオイド と 2 いう(p.151 も参照)。 以上から,求める軌跡の極方程式は r=5+5cos 0 練習 点Cを中心とする半径aの円Cの定直径を OA とする。 点Pは円C上の動点で, 83 点Pにおける接線に0から垂線 OQ を引き, OQの延長上に点Rをとって QR=aとする。 0を極, 始線をOA とする極座標上において, 点Rの極座標を (r, 0) (ただし, 0%0<z) とするとき 「大(1) 点R の軌跡の極方程式を求めよ。 (2) 直線 OR の点Rにおける垂線 RQ' は, 点Cを中心とする定円に接すること を示せ。 p.152 EX63 E極座標、極方程式

この問題がわからないので、どなたか助けていただけると嬉しいです！ よろしくお願いします！

1 1. D={(x,y): > 0,y2 0} を求めたい、以下の問いに答えよ。 「1 D 1 (1) D, = [0, n] × [0, n] とするとき (+ 3)(y+ 1)3 dedy を求めよ。 1 Fdardy を求めよ。 -dady, D = {(x, y):0<a<1,0<y<a} を求めたい。 -y 2. (1) D を図示せよ。 (2) D の近似増加列としてn>2に対して D, = { (r,9):-<s1,0<ySa--}とお くとき D, を図示せよ。 n n -drdy および -dady を求めよ。 - 3 D, Va D 3. 極座標変換を用いて edrdy D= {(r, y)|x > 0, y > 0,a?+ y? < «°} を求めよ、ただしa D は正の定数とする。 4. 不等式 -2<r+y<2, -1< 2.r - y<1の表す領域を Dとする。 (+ )°(2r - )*drdy を求めたい、以下の問いに答えよ。 (1)領域 D を図示せよ。 0(x, y) 0(u, v) (2) a+y= u, 2r - y=v とおくとき,a, y をそれぞれ u, vの式で表し,ヤコビアン を求めよ。 (3) 2重積分 (x+9)°(2r - )*dady を求めよ。

こちらの問題、解いていただけると助かります。 お願いいたします！

1 1. D={(x,y): > 0,y2 0} を求めたい、以下の問いに答えよ。 「1 D 1 (1) D, = [0, n] × [0, n] とするとき (+ 3)(y+ 1)3 dedy を求めよ。 1 Fdardy を求めよ。 -dady, D = {(x, y):0<a<1,0<y<a} を求めたい。 -y 2. (1) D を図示せよ。 (2) D の近似増加列としてn>2に対して D, = { (r,9):-<s1,0<ySa--}とお くとき D, を図示せよ。 n n -drdy および -dady を求めよ。 - 3 D, Va D 3. 極座標変換を用いて edrdy D= {(r, y)|x > 0, y > 0,a?+ y? < «°} を求めよ、ただしa D は正の定数とする。 4. 不等式 -2<r+y<2, -1< 2.r - y<1の表す領域を Dとする。 (+ )°(2r - )*drdy を求めたい、以下の問いに答えよ。 (1)領域 D を図示せよ。 0(x, y) 0(u, v) (2) a+y= u, 2r - y=v とおくとき,a, y をそれぞれ u, vの式で表し,ヤコビアン を求めよ。 (3) 2重積分 (x+9)°(2r - )*dady を求めよ。

(2)について、グラフとx軸y軸の交点はわかるのですが、なぜこのような外形になると判断できるのでしょうか… プロットしてく？有名曲線だから覚える？しかなかないのでしょうか わかる方お願いします😭✨ 🐻🏬

10:18 回 d a m く 5.8-01東北大·後理6.. 保存 Q 0<a<1であるような定数aに対して,次の方程式で表される曲線Cを考える。 (1) Cの極方程式を求めよ。 (2) Cとェ軸およびy軸との交点の座標を求め,C の概形を描け。 とする。C上の点のェ座標の最大値と最小値およびy座標の最大値と V3 (3) a = 最小値をそれぞれ求めよ。 (01 東北大 後理·工6) 【答) (1) r= cos0 +a (2) 交点の座標は (0, 0),(1土a,0), (0,±a),概形は略。 (3) ェ座標の最大値1+ と最小値 - 点:y座標の最大値 V3 と最小値 - 22 【解答) (1) ェ=rcos 0,y=rsin0 とおくと,Cは °= ( -rcos 0)° . r=0 または r- cos 0 = 土a r=0 r= COs 0 +a ……の r= COs 0 -a 0<a<1であるから,cos0 +a=0となる0が存在し,そのときのはr=0となるから, のはのに含まれる。 また,極座標では,(r, 0) と(-r, 0+m) は同じ点を表すが,Oでrを -r, 0 を0+πと おくと ーr= cOs(9 +T) -a . r= COS 0+a となるから,Oはのに含まれる。よって,求める極方程式は ……(答) r= cos 0 +a (2) Cとr軸およびy軸との交点の座標を求める。 まず,(1)で調べたように,曲線 c は原点を通る。そ れ以外の座標軸との交点は (i) 0=0のときr=1+a (i) 0=Tのときr=-1+a ) 0= エのときr=a 1+4 iv) 0= - Iのときr=a よって,Cと』軸およびy軸との交点の座標は (0, 0), (1 土 a, 0), (0,土a) Cの概形は右図となる。 ………(答) 1/2 2 (3) まず,z座標の最大値と最小値を求める。 T=rCOs 6 = COs + COs e cos 0 + 三 早- ( -1S cos 0 S1であるから,ェは cos 0 = 1のとき最大で,最大値 1+ V3 …(答) COs 0 = - 2v3 のとき最小で、最小値 …(答) 12 次に,y座標の最大値と最小値を求める。 II く

（3）の3枚目の外形の描き方を教えてください🙇‍♀️

(1) 曲線C上の点Pの直交座標 (x, y) を0の式で表せ (2) 曲線C上の点Qの極座標を(r, 6) とする. 点QにおけるCの接線の傾きが 4 座標平面上で,極方程式ァ=、/cos20が表す曲線の0ハ0 対応する部分を。 とする。 ) 曲線C上の点Qの極座標を(r. 0) とする. 点Qにおけるしの接線の傾き。 -1であるとき0の値を求めよ. 1meS+1- お os V6 の部分の面積Sを求めよ。 4 (3) 曲線Cとx軸によって囲まれる図形のx2 そお ) (名古屋工業大

大学物理の極座標系の運動方程式について。 半径rの摩擦のない球面上に質量mの質点がある。 この質点が球の頂上から滑り落ちる。 ただし、初速度をv_0、重力加速度をgとする。 この時、質点が球面を離れるθを求めよ。 という問題が分かりません。 教えてください！

重積分・3重積分の解き方分かりません。 (1)(2)どっちもわからないです。

(配点 3C dady, D={(u,y) : " N0,y20,2+yハ} 1+ (z-)2 yz dadydz, E ={(x,y, z) : y三のwo,x20, a°+y° +2S}- E

解説右上の概形の書き方を教えていただきたいです🙇‍♀️

(1) 曲線C上の点Pの直交座標(x, y)を0の式で表せ. 17 4 座標平面上で,極方程式r=V とする。 曲線C上の点Qの極座標を(r )とする。点QにおけるCの接線の傾きが -1であるとき0の値を求めよ. V6 3) 曲線Cとx軸によって囲まれる図形のx三 の部分の面積Sを求めよ。 4 (名古屋工業大)

演習問題12を(2)のやり方で解く方法を教えてください

演習問題 12 放物線 C:4pr=y° (カ>0) において, F(p, 0) を通る直線1と Cが異なる2点 P, Qで交わるとき, 次の問いに答えよ。 (1) Fを極, 軸の正の部分を始線とする極座標を考えるとき,C の極方程式を求めよ.ただし, 00<2x, r>0 とする. 1 FP 1 は一定であることを示せ。 FQ